PYRAMIDE HEXAGONALE: DÉFINITION, CARACTÉRISTIQUES ET EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

Une pyramide hexagonale est un polyèdre formé par un hexagone, qui est la base, et six triangles qui partent des sommets de l'hexagone et se rencontrent à un point en dehors du plan qui contient la base. Ce point de concurrence est connu comme le sommet ou l'apex de la pyramide.

Un polyèdre est un corps géométrique tridimensionnel fermé dont les faces sont des figures planes. Un hexagone est une figure plane fermée (polygone) composée de six côtés. Si les six côtés ont la même longueur et forment des angles égaux, on dit qu'il est régulier; sinon c'est irrégulier.

Définition

Une pyramide hexagonale contient sept faces, la base et les six triangles latéraux, dont la base est la seule qui ne touche pas le sommet.

La pyramide est dite droite si tous les triangles latéraux sont isocèles. Dans ce cas, la hauteur de la pyramide est le segment qui va du sommet au centre de l'hexagone.

En général, la hauteur d'une pyramide est la distance entre le sommet et le plan de la base. La pyramide est dite oblique sinon tous les triangles latéraux sont isocèles.

Si l'hexagone est régulier et que la pyramide est également droite, on dit qu'il s'agit d'une pyramide hexagonale régulière. De même, si l'hexagone est irrégulier ou si la pyramide est oblique, on dit qu'il s'agit d'une pyramide hexagonale irrégulière.

caractéristiques

Concave ou convexe

Un polygone est convexe si la mesure de tous les angles intérieurs est inférieure à 180 degrés. Géométriquement, cela revient à dire que, étant donné une paire de points dans le polygone, le segment de ligne qui les joint est contenu dans le polygone. Sinon, le polygone est dit concave.

Si l'hexagone est convexe, la pyramide est dite être une pyramide hexagonale convexe. Sinon, on dira qu'il s'agit d'une pyramide hexagonale concave.

Bords

Les bords d'une pyramide sont les côtés des six triangles qui la composent.

Apothème

L'apothème de la pyramide est la distance entre le sommet et les côtés de la base de la pyramide. Cette définition n'a de sens que lorsque la pyramide est régulière, car si elle est irrégulière, cette distance varie en fonction du triangle considéré.

Par contre, dans les pyramides régulières, l'apothème correspondra à la hauteur de chaque triangle (puisque chacun est isocèle) et il en sera de même dans tous les triangles.

L'apothème de la base est la distance entre l'un des côtés de la base et le centre de celle-ci. De la façon dont il est défini, l'apothème de la base n'a également de sens que dans les pyramides régulières.

Dénotations

La hauteur d'une pyramide hexagonale sera désignée par h, l'apothème de la base (dans le cas régulier) par APb et l' apothème de la pyramide (également dans le cas régulier) par AP.

Une caractéristique des pyramides hexagonales régulières est que h, APb et AP forment un triangle rectangle avec hypoténuse AP et pattes h et APb. Par le théorème de Pythagore, nous avons que AP = √ (h ^ 2 + APb ^ 2).

L'image ci-dessus représente une pyramide régulière.

Comment calculer la superficie? Formules

Considérez une pyramide hexagonale régulière. Soit A la mesure de chaque côté de l'hexagone. Alors A correspond à la mesure de la base de chaque triangle de la pyramide et, par conséquent, aux arêtes de la base.

L'aire d'un polygone est le produit du périmètre (la somme des côtés) et de l'apothème de la base, divisé par deux. Dans le cas d'un hexagone, ce serait 3 * A * APb.

On peut voir que l'aire d'une pyramide hexagonale régulière est égale à six fois l'aire de chaque triangle de la pyramide plus l'aire de la base. Comme mentionné précédemment, la hauteur de chaque triangle correspond à l'apothème de la pyramide, AP.

Par conséquent, l'aire de chaque triangle de la pyramide est donnée par A * AP / 2. Ainsi, l'aire d'une pyramide hexagonale régulière est 3 * A * (APb + AP), où A est un bord de la base, APb est l'apothème de la base et AP l'apothème de la pyramide.

Calcul dans des pyramides hexagonales irrégulières

Dans le cas d'une pyramide hexagonale irrégulière, il n'y a pas de formule directe pour calculer l'aire comme dans le cas précédent. C'est parce que chaque triangle de la pyramide aura une aire différente.

Dans ce cas, l'aire de chaque triangle doit être calculée séparément et l'aire de la base. Ensuite, l'aire de la pyramide sera la somme de toutes les aires précédemment calculées.

Comment calculer le volume? Formules

Le volume d'une pyramide de forme hexagonale régulière est le produit de la hauteur de la pyramide et de l'aire de la base divisée par trois. Ainsi, le volume d'une pyramide hexagonale régulière est donné par A * APb * h, où A est un bord de la base, APb est l'apothème de la base et h est la hauteur de la pyramide.

Calcul dans des pyramides hexagonales irrégulières

De manière analogue à l'aire, dans le cas d'une pyramide hexagonale irrégulière, il n'y a pas de formule directe pour calculer le volume puisque les bords de la base n'ont pas la même mesure car il s'agit d'un polygone irrégulier.

Dans ce cas, la surface de la base doit être calculée séparément et le volume sera (h * Surface de la base) / 3.

Exemple

Trouvez l'aire et le volume d'une pyramide hexagonale régulière d'une hauteur de 3 cm, dont la base est un hexagone régulier de 2 cm de chaque côté et l'apothème de la base est de 4 cm.

Solution

Tout d'abord, l'apothème de la pyramide (AP) doit être calculé, qui est la seule donnée manquante. En regardant l'image ci-dessus, on peut voir que la hauteur de la pyramide (3 cm) et l'apothème de la base (4 cm) forment un triangle rectangle; Par conséquent, pour calculer l'apothème de la pyramide, le théorème de Pythagore est utilisé:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Ainsi, en utilisant la formule écrite ci-dessus, il s'ensuit que l'aire est égale à 3 * 2 * (4 + 5) = 54cm ^ 2.

D'autre part, en utilisant la formule du volume, on obtient que le volume de la pyramide donnée est 2 * 4 * 3 = 24cm ^ 3.

Références

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