PÉRIMÈTRE DU CERCLE: COMMENT LE SORTIR ET FORMULES, EXERCICES RÉSOLUS - MATEMATIQUES - 2024

Le périmètre du cercle est l'ensemble des points qui composent le contour d'un cercle et est également connu comme la longueur de la circonférence. Cela dépend du rayon, car une plus grande circonférence aura évidemment un contour plus grand.

Soit P le périmètre d'un cercle et R son rayon, alors on peut calculer P avec l'équation suivante:

Le périmètre du cercle (dans ce cas une pizza) dépend de son rayon. Source: Pixabay.

Où π est un nombre réel (lire «pi») qui vaut environ 3,1416… Les ellipses sont dues au fait que π a une infinité de décimales. Par conséquent, lors des calculs, il est nécessaire d'arrondir sa valeur.

Cependant, pour la plupart des applications, il suffit de prendre le montant indiqué ici, ou d'utiliser toutes les décimales que renvoie la calculatrice avec laquelle vous travaillez.

Si au lieu d'avoir le rayon, on préfère utiliser le diamètre D, dont on sait qu'il est le double du rayon, le périmètre s'exprime comme suit:

Comme le périmètre est une longueur, il doit toujours être exprimé en unités telles que mètres, centimètres, pieds, pouces et plus, selon le système préféré.

Circonférences et cercles

Ce sont souvent des termes qui sont utilisés de manière interchangeable, c'est-à-dire comme des synonymes. Mais il arrive qu'il y ait des différences entre eux.

Le mot «périmètre» vient du grec «peri» qui signifie contour et «mètre» ou mesure. La circonférence est le contour ou le périmètre du cercle. Formellement, il est défini comme suit:

Pour sa part, le cercle est défini comme suit:

Le lecteur peut voir la différence subtile entre les deux concepts. La circonférence se réfère uniquement à l'ensemble des points sur le bord, tandis que le cercle est l'ensemble des points du bord vers l'intérieur, dont la circonférence est la limite.

Exercices d emostración de calcul du périmètre du cercle

A travers les exercices suivants, les concepts décrits ci-dessus seront mis en pratique, ainsi que quelques autres qui seront expliqués au fur et à mesure de leur apparition. Nous partirons du plus simple et le degré de difficulté augmentera progressivement.

- Exercice 1

Trouvez le périmètre et l'aire du cercle avec un rayon de 5 cm.

Solution

L'équation donnée au début s'applique directement:

Pour calculer la surface A, la formule suivante est utilisée:

- Exercice 2

a) Trouvez le périmètre et la surface de la région vierge dans la figure suivante. Le centre du cercle ombré est au point rouge, tandis que le centre du cercle blanc est le point vert.

b) Répétez la section précédente pour la région ombrée.

Cercles pour l'exercice 2. Source: F. Zapata.

Solution

a) Le rayon du cercle blanc est de 3 cm, nous appliquons donc les mêmes équations que dans l'exercice 1:

b) Pour le cercle ombré, le rayon est de 6 cm, son périmètre est le double de celui calculé dans la section a):

Et enfin l'aire de la région ombrée est calculée comme suit:

- Nous trouvons d'abord l'aire du cercle ombré comme s'il était complet, que nous appellerons A ', comme ceci:

- Exercice 3

Trouvez la zone et le périmètre de la région ombrée dans la figure suivante:

Figure de l'exercice 3. Source: F. Zapata.

Solution

Calcul de la surface de la région ombrée

Nous calculons d'abord l'aire du secteur circulaire ou du coin, entre les segments droits OA et OB et le segment circulaire AB, comme le montre la figure suivante:

Pour ce faire, on utilise l'équation suivante, qui nous donne l'aire d'un secteur circulaire, connaissant le rayon R et l'angle central entre les segments OA et OB, soit deux des rayons de la circonférence:

Où αº est l'angle central - il est central car son sommet est le centre de la circonférence - entre deux rayons.

Étape 1: calculez l'aire du secteur circulaire

De cette manière, l'aire du secteur représentée sur la figure est:

Étape 2: calculez l'aire du triangle

Ensuite, nous calculerons l'aire du triangle blanc de la figure 3. Ce triangle est équilatéral et son aire est:

La hauteur correspond à la ligne rouge pointillée de la figure 4. Pour la trouver, vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore, par exemple. Mais ce n'est pas le seul moyen.

Le lecteur attentif aura remarqué que le triangle équilatéral est divisé en deux triangles rectangles identiques, dont la base est de 4 cm:

Dans un triangle rectangle le théorème de Pythagore est rempli, donc:

Étape 3: calcul de la zone ombrée

Il suffit de soustraire la plus grande surface (celle du secteur circulaire) de la plus petite surface (celle du triangle équilatéral): Une _{région ombrée} = 33,51 cm ² - 27,71 cm ² = 5,80 cm ².

Calcul du périmètre de la zone ombrée

Le périmètre recherché est la somme du côté rectiligne de 8 cm et de l'arc de circonférence AB. Maintenant, la circonférence complète sous-tend 360º, donc un arc qui sous-tend 60º est un sixième de la longueur complète, que nous savons être 2.π.R:

En remplaçant, le périmètre de la région ombrée est:

Applications

Le périmètre, comme la zone, est un concept très important en géométrie et avec de nombreuses applications dans la vie quotidienne.

Artistes, designers, architectes, ingénieurs et bien d'autres utilisent le périmètre pour développer leur travail, en particulier celui d'un cercle, puisque la forme ronde est partout: de la publicité, en passant par la nourriture et la machinerie.

La circonférence et le cercle sont parmi les géométries les plus utilisées. Source: Pixabay.

Pour connaître directement la longueur d'une circonférence, il suffit de l'enrouler avec un fil ou une ficelle, puis d'étendre ce fil et de le mesurer avec un ruban à mesurer. L'autre alternative est de mesurer le rayon ou le diamètre du cercle et d'utiliser l'une des formules décrites ci-dessus.

Dans le travail quotidien, le concept de périmètre est utilisé lorsque:

-Le moule approprié est choisi pour une certaine taille de pizza ou de gâteau.

-Une route urbaine va être conçue, en calculant la taille d'un flacon où les voitures peuvent tourner pour changer de direction.

-Nous savons que la Terre tourne autour du Soleil sur une orbite à peu près circulaire - en fait les orbites planétaires sont elliptiques, selon les lois de Kepler -, mais la circonférence est une très bonne approximation pour la plupart des planètes.

-La taille appropriée d'une bague est choisie pour être achetée dans une boutique en ligne.

-Nous choisissons une clé de la bonne taille pour desserrer un écrou.

Et beaucoup plus.

Références

1. Tutoriels mathématiques gratuits. Aire et périmètre d'un cercle - Calculatrice de géométrie. Récupéré de: analyzemath.com.
2. Référence ouverte mathématique. Circonférence, périmètre d'un cercle. Récupéré de: mathopenref.com.
3. Institut Monterey. Périmètre et superficie. Récupéré de: montereyinstitute.org.
4. Découvrir. Comment trouver le périmètre d'un cercle. Récupéré de: scaimer.com.
5. Wikipédia. Circonférence. Récupéré de: en.wikipedia.org.