PARALLÉLÉPIPÈDE: CARACTÉRISTIQUES, TYPES, SUPERFICIE, VOLUME - MATEMATIQUES - 2025

Un parallélépipède est un corps géométrique composé de six faces dont la caractéristique principale est que toutes ses faces sont des parallélogrammes et aussi que ses faces opposées sont parallèles entre elles. C'est un polyèdre courant dans notre vie quotidienne, car on peut le trouver dans des boîtes à chaussures, la forme d'une brique, la forme d'un micro-ondes, etc.

Étant un polyèdre, le parallélépipède renferme un volume fini et toutes ses faces sont plates. Il fait partie du groupe des prismes, qui sont ces polyèdres dans lesquels tous ses sommets sont contenus dans deux plans parallèles.

Éléments du parallélépipède

Visages

Ce sont chacune des régions formées par des parallélogrammes qui limitent le parallélépipède. Un parallélépipède a six faces, où chaque face a quatre faces adjacentes et une opposée. De plus, chaque face est parallèle à son opposé.

Bords

Ils sont le côté commun de deux faces. Au total, un parallélépipède a douze arêtes.

Sommet

C'est le point commun de trois faces qui sont adjacentes l'une à l'autre deux à deux. Un parallélépipède a huit sommets.

Diagonale

Étant donné deux faces d'un parallélépipède opposées l'une à l'autre, on peut tracer un segment de droite qui va du sommet d'une face au sommet opposé de l'autre.

Ce segment est connu comme la diagonale du parallélépipède. Chaque parallélépipède a quatre diagonales.

centre

C'est le point où toutes les diagonales se croisent.

Caractéristiques du parallélépipède

Comme nous l'avons déjà mentionné, ce corps géométrique a douze arêtes, six faces et huit sommets.

Dans un parallélépipède, trois ensembles formés par quatre arêtes peuvent être identifiés, qui sont parallèles entre eux. De plus, les bords desdits ensembles ont également la propriété d'avoir la même longueur.

Une autre propriété des parallélépipèdes est qu'ils sont convexes, c'est-à-dire que si l'on prend une paire de points appartenant à l'intérieur du parallélépipède, le segment déterminé par ladite paire de points sera également à l'intérieur du parallélépipède.

De plus, les parallélépipèdes étant des polyèdres convexes sont conformes au théorème d'Euler pour les polyèdres, ce qui nous donne une relation entre le nombre de faces, le nombre d'arêtes et le nombre de sommets. Cette relation est donnée sous la forme de l'équation suivante:

C + V = A + 2

Cette caractéristique est connue sous le nom de caractéristique d'Euler.

Où C est le nombre de faces, V le nombre de sommets et A le nombre d'arêtes.

Les types

Nous pouvons classer les parallélépipèdes en fonction de leurs faces, dans les types suivants:

Orthoèdre

Ce sont les parallélépipèdes dont leurs faces sont formées de six rectangles. Chaque rectangle est perpendiculaire à ceux qui partagent un bord. Ils sont les plus courants dans notre vie quotidienne, il s'agit de la forme habituelle de boîtes à chaussures et de briques.

Cube régulier ou hexaèdre

C'est un cas particulier du précédent, où chacune des faces est un carré.

Le cube fait également partie des corps géométriques appelés solides platoniques. Un solide platonicien est un polyèdre convexe, de sorte que ses faces et ses angles internes sont égaux les uns aux autres.

Rhomboèdre

C'est un parallélépipède avec des losanges pour son visage. Ces losanges sont tous égaux les uns aux autres, car ils partagent des arêtes.

Rhomboèdre

Ses six faces sont des rhomboïdes. Rappelez-vous qu'un rhomboïde est un polygone à quatre côtés et quatre angles égaux à deux à deux. Les rhomboïdes sont des parallélogrammes qui ne sont ni des carrés, ni des rectangles, ni des losanges.

Par contre, les parallélépipèdes obliques sont ceux dont au moins une hauteur ne concorde pas avec leur arête. Dans cette classification, nous pouvons inclure les rhomboèdres et les rhomboèdres.

Calcul des diagonales

Pour calculer la diagonale d'un orthoèdre, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour R ³.

Rappelons qu'un ortoèdre a la caractéristique que chaque côté est perpendiculaire aux côtés qui partagent un bord. De ce fait, nous pouvons déduire que chaque arête est perpendiculaire à celles qui partagent un sommet.

Pour calculer la longueur d'une diagonale d'un orthoèdre, nous procédons comme suit:

1. Nous calculons la diagonale d'une des faces, que nous allons mettre comme base. Pour cela, nous utilisons le théorème de Pythagore. Appelons cette diagonale d _b.

2. Puis avec d _b on peut former un nouveau triangle rectangle, tel que l'hypoténuse dudit triangle soit la diagonale D que l'on cherche.

3. Nous utilisons à nouveau le théorème de Pythagore et nous avons que la longueur de cette diagonale est:

Une autre façon de calculer les diagonales de manière plus graphique consiste à ajouter des vecteurs gratuits.

Rappelons que deux vecteurs libres A et B sont ajoutés en plaçant la queue du vecteur B avec la pointe du vecteur A.

Le vecteur (A + B) est celui qui commence à la queue de A et se termine à l'extrémité de B.

Considérons un parallélépipède pour lequel on souhaite calculer une diagonale.

Nous identifions les arêtes avec des vecteurs bien orientés.

Ensuite, nous ajoutons ces vecteurs et le vecteur résultant sera la diagonale du parallélépipède.

Zone

L'aire d'un parallélépipède est donnée par la somme de chacune des aires de ses faces.

Si nous déterminons l'un des côtés comme base, A _L + 2A _B = Superficie totale

Où A _L est égal à la somme des aires de tous les côtés adjacents à la base, appelée aire latérale, et A _B est l'aire de la base.

Selon le type de parallélépipède avec lequel nous travaillons, nous pouvons réécrire cette formule.

Aire d'un ortoèdre

Il est donné par la formule

A = 2 (ab + bc + ca).

Exemple 1

Compte tenu de l'orthoèdre suivant, avec des côtés a = 6 cm, b = 8 cm et c = 10 cm, calculez l'aire du parallélépipède et la longueur de sa diagonale.

En utilisant la formule de l'aire d'un ortoèdre, nous avons cela

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ².

Notez que puisqu'il s'agit d'un orthoèdre, la longueur de l'une de ses quatre diagonales est la même.

En utilisant le théorème de Pythagore pour l'espace, nous avons cela

D = (6 ² + 8 ² + 10 ²) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Aire d'un cube

Puisque chaque arête a la même longueur, nous avons que a = b et a = c. En remplaçant dans la formule précédente, nous avons

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ²) = 6a ²

A = 6a ²

Exemple 2

La boîte d'une console de jeu a la forme d'un cube. Si nous voulons emballer cette boîte avec du papier cadeau, combien de papier dépenserions-nous en sachant que la longueur des bords du cube est de 45 cm?

En utilisant la formule de l'aire du cube, nous obtenons que

A = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ²) = 12150 cm ²

Aire d'un rhomboèdre

Puisque toutes leurs faces sont identiques, calculez simplement l'aire de l'un d'entre eux et multipliez-la par six.

Nous avons que l'aire d'un losange peut être calculée par ses diagonales avec la formule suivante

A _R = (Dd) / 2

En utilisant cette formule, il s'ensuit que la surface totale du rhomboèdre est

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Exemple 3

Les faces du rhomboèdre suivant sont formées par un losange dont les diagonales sont D = 7 cm et d = 4 cm. Votre région sera

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm ².

Aire d'un rhomboèdre

Pour calculer l'aire d'un rhomboèdre, nous devons calculer l'aire des rhomboïdes qui le composent. Puisque les parallélépipèdes remplissent la propriété que les côtés opposés ont la même surface, nous pouvons associer les côtés en trois paires.

De cette façon, nous avons que votre région sera

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Où les b _i sont les bases associées aux côtés et les h _i leur hauteur relative correspondant à ces bases.

Exemple 4

Considérons le parallélépipède suivant,

où le côté A et le côté A '(son côté opposé) ont une base b = 10 et une hauteur h = 6. La zone marquée aura une valeur de

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

Les B et B 'ont b = 4 et h = 6, donc

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC et C 'ont b = 10 et h = 5, donc

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Enfin la zone du rhomboèdre est

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volume d'un parallélépipède

La formule qui nous donne le volume d'un parallélépipède est le produit de l'aire d'une de ses faces par la hauteur correspondant à cette face.

V = A _C h _C

Selon le type de parallélépipède, cette formule peut être simplifiée.

Ainsi on a par exemple que le volume d'un orthoèdre serait donné par

V = abc.

Où a, b et c représentent la longueur des bords de l'ortoèdre.

Et dans le cas particulier du cube est

V = un ³

Exemple 1

Il existe trois modèles différents de boîtes à cookies et vous souhaitez savoir dans lequel de ces modèles vous pouvez stocker le plus de cookies, c'est-à-dire laquelle des boîtes a le plus grand volume.

Le premier est un cube dont l'arête a une longueur de a = 10 cm

Son volume sera V = 1000 cm ³

Le second a des bords b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Et donc son volume est V = 765 cm ³

Et le troisième a e = 9 cm, f = 9 cm et g = 13 cm

Et son volume est V = 1053 cm ³

Par conséquent, la boîte avec le plus grand volume est la troisième.

Une autre méthode pour obtenir le volume d'un parallélépipède consiste à utiliser l'algèbre vectorielle. En particulier, le produit triple dot.

L'une des interprétations géométriques du triple produit scalaire est celle du volume du parallélépipède, dont les arêtes sont trois vecteurs partageant le même sommet comme point de départ.

De cette façon, si nous avons un parallélépipède et que nous voulons savoir quel est son volume, il suffit de le représenter dans un repère dans R ^{3 en} faisant coïncider l'un de ses sommets avec l'origine.

Ensuite, nous représentons les arêtes qui coïncident à l'origine avec des vecteurs comme indiqué sur la figure.

Et de cette façon nous avons que le volume dudit parallélépipède est donné par

V = - AxB ∙ C-

Ou, de manière équivalente, le volume est le déterminant de la matrice 3 × 3, formée par les composantes des vecteurs de bord.

Exemple 2

En représentant le parallélépipède suivant dans R ^3, nous pouvons voir que les vecteurs qui le déterminent sont les suivants

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) et w = (-0,25, -4, 4)

En utilisant le produit triple scalaire que nous avons

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

De cela, nous concluons que V = 60

Considérons maintenant le parallélépipède suivant dans R3 dont les arêtes sont déterminées par les vecteurs

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) et C = (3, 4, 4)

L'utilisation de déterminants nous donne que

On a donc que le volume dudit parallélépipède est de 112.

Les deux sont des moyens équivalents de calculer le volume.

Parallélépipède parfait

Un orthoèdre est connu comme une brique d'Euler (ou bloc d'Euler) qui remplit la propriété que la longueur de ses bords et la longueur des diagonales de chacune de ses faces sont des nombres entiers.

Bien qu'Euler n'ait pas été le premier scientifique à étudier les ortohèdres qui remplissent cette propriété, il a trouvé des résultats intéressants à leur sujet.

La plus petite brique d'Euler a été découverte par Paul Halcke et les longueurs de ses bords sont a = 44, b = 117 et c = 240.

Un problème ouvert en théorie des nombres est le suivant

Y a-t-il des ortohèdres parfaits?

À l'heure actuelle, cette question n'a pas reçu de réponse, car il n'a pas été possible de prouver que de tels organes n'existent pas, mais aucun n'a été trouvé.

Ce qui a été montré jusqu'à présent, c'est que des parallélépipèdes parfaits existent. Le premier à découvrir a la longueur de ses bords les valeurs 103, 106 et 271.

Bibliographie

1. Guy, R. (1981). Problèmes non résolus en théorie des nombres. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Géométrie. Le progrès.
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