CONJUGUER ANGLES INTERNES ET EXTERNES: EXEMPLES, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2024

Les angles conjugués sont ceux ajoutés aux résultats pour être de 360, quels que soient lesdits angles adjacents ou non. Deux angles conjugués sont représentés sur la figure 1, notés α et β.

Dans ce cas, les angles α et β de la figure ont un sommet commun et leurs côtés sont communs, donc ils sont adjacents. La relation entre eux s'exprime comme suit:

α + β = 360º

Figure 1. Deux angles centraux conjugués, somme. Source: Wikimedia Commons. Aucun auteur lisible par machine fourni. Thiago R Ramos supposé (sur la base des revendications de droits d'auteur). C'est une classification des angles par leur somme. D'autres définitions importantes incluent les angles complémentaires, dont la somme est de 90 °, et les angles supplémentaires, qui totalisent 180 °.

En revanche, considérons maintenant deux droites parallèles coupées par une sécante, dont la disposition est représentée ci-dessous:

Figure 2. Lignes parallèles coupées par une sécante. Source: F. Zapata.

Les droites MN et PQ sont parallèles, tandis que la droite RS est sécante, coupant les parallèles en deux points. Comme on peut le voir, cette configuration détermine la formation de 8 angles, qui ont été désignés par des lettres minuscules.

Eh bien, selon la définition donnée au début, les angles a, b, c et d sont conjugués. Et de la même manière e, f, g et h, puisque les deux cas sont vrais:

a + b + c + d = 360 °

ET

e + f + g + h = 360 °

Pour cette configuration, deux angles sont conjugués s'ils sont du même côté par rapport à la sécante RS et tous deux sont internes ou externes. Dans le premier cas on parle d'angles conjugués internes, tandis que dans le second, ce sont des angles conjugués externes.

Exemples

Sur la figure 2, les angles externes sont ceux qui sont en dehors de la région délimitée par les lignes MN et PQ, ce sont les angles A, B, G et H.Tandis que les angles qui se trouvent entre les deux lignes sont C, D, E et F.

Il faut maintenant analyser quels angles sont à gauche et lesquels à droite de la sécante.

À gauche de RS se trouvent les angles A, C, E et G. Et à droite, les angles B, D, F et H.

Nous procédons immédiatement à la détermination des paires d'angles conjugués, selon la définition donnée dans la section précédente:

-A et G, externes et à gauche de RS.

-D et F, internes et à droite de RS.

-B et H, extérieur et à droite de RS.

-C et E, internes et à gauche de RS.

Propriété des angles conjugués entre des lignes parallèles

Les angles conjugués entre droites parallèles sont complémentaires, c'est-à-dire que leur somme est égale à 180º. De cette façon, pour la figure 2, ce qui suit est vrai:

A + G = 180 °

D + F = 180 °

B + H = 180 °

C + E = 180 °

Les paires d'angles correspondants pour les lignes parallèles

Ce sont ceux qui sont du même côté de la ligne sécante, ils ne sont pas adjacents et l'un d'eux est interne et l'autre externe. Il est important de les visualiser, car leur mesure est la même, car ils sont des angles opposés par le sommet.

En revenant à la figure 2, les paires d'angles correspondantes sont identifiées comme suit:

-A et E

-C et G

-B et F

-D et H

Angles internes d'un quadrilatère

Les quadrilatères sont des polygones à 4 côtés, parmi lesquels le carré, le rectangle, le trapèze, le parallélogramme et le losange, par exemple. Indépendamment de leur forme, dans l'un d'entre eux, il est vrai que la somme de leurs angles internes est de 360 ​​°, ils répondent donc à la définition donnée au début.

Voyons quelques exemples de quadrilatères et comment calculer la valeur de leurs angles internes en fonction des informations des sections précédentes:

Exemples

a) Trois des angles d'un quadrilatère mesurent 75 °, 110 ° et 70 °. Combien l'angle restant doit-il mesurer?

b) Trouvez la valeur de l'angle ∠Q sur la figure 3 i.

c) Calculez la mesure de l'angle ∠A sur la figure 3 ii.

Solution pour

Soit α l'angle manquant, on vérifie que:

α + 75 ° + 110 ° + 70 ° = 360 ° → α = 105 °

Solution b

La figure 3i représentée est un trapèze et deux de ses angles internes sont droits, qui ont été marqués d'un carré de couleur dans les coins. Pour ce quadrilatère, les éléments suivants sont vérifiés:

∠R + ∠S + ∠P + ∠Q = 360º; ∠S = ∠R = 90 °; ∠P = 60 °

Donc:

∠ Q = 2 x 90 ° + 60 ° = 240 °

Solution c

Le quadrilatère de la figure 3 ii est également un trapèze, pour lequel ce qui suit est vrai:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360 °

Donc:

4x -5 + 3x + 10 +180 = 360

7x + 5 = 180

x = (180 - 5) / 7

x = 25

Pour déterminer l'angle demandé dans l'énoncé, nous utilisons que ∠A = 4x - 5. En remplaçant la valeur précédemment calculée de x, il s'ensuit que ∠A = (4 × 25) -5 = 95º

Exercices

- Exercice 1

Sachant que l'un des angles indiqués est de 125 °, trouvez les mesures des 7 angles restants dans la figure suivante et justifiez les réponses.

Figure 4. Les lignes et les angles de l'exercice 1. Source: F. Zapata.

Solution

L'angle 6 et l'angle 125 ° sont des conjugués internes, dont la somme est de 180 °, selon la propriété des angles conjugués, donc:

∠6 + 125 ° = 180 ° → ∠6 = 180 ° - 125 ° = 55 °

Par contre ∠6 et ∠8 sont des angles opposés par le sommet, dont la mesure est la même. Par conséquent, ∠8 mesure 55 °.

L'angle ∠1 est également opposé par le sommet à 125º, alors on peut affirmer que ∠1 = 125º. On peut également faire appel au fait que les paires d'angles correspondantes ont la même mesure. Dans la figure, ces angles sont:

∠7 = 125 º

∠2 = ∠6 = 55 º

∠1 = ∠5 = 125º

∠4 = ∠8 = 55 º

- Exercice 2

Trouvez la valeur de x dans la figure suivante et les valeurs de tous les angles:

Figure 5. Lignes et angles pour l'exercice 2. Source: F. Zapata.

Solution

Puisqu'il s'agit de paires correspondantes, il s'ensuit que F = 73º. Et d'autre part la somme des paires conjuguées est de 180 °, donc:

3x + 20 ° + 73 ° = 180 °

3x = 180 ° - 73 ° -20 ° = 87

Enfin la valeur de x est:

x = 87/3 = 29

Comme pour tous les angles, ils sont listés dans la figure suivante:

Figure 6. Angles résultant de l'exercice 2. Source: F. Zapata.

Références

1. Groupes d'angle. Explication des angles complémentaires, supplémentaires et explicatifs. Récupéré de: thisiget.com/
2. Baldor, A. 1983. Géométrie et trigonométrie des plans et de l'espace. Groupe culturel Patria.
3. Corral, M. Mathématiques LibreTexts: Angles. Récupéré de: math.libretexts.org.
4. Mathmania. Classer et construire les angles par leur mesure. Récupéré de: mathemania.com/
5. Wentworth, G. Géométrie de l'avion. Récupéré de: gutenberg.org.
6. Wikipédia. Conjuguez les angles. Récupéré de: es.wikipedia.org.