ANGLE NUL: DÉFINITION ET CARACTÉRISTIQUES, EXEMPLES, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2024

L' angle nul est celui dont la mesure est 0, à la fois en degrés et en radians ou d'un autre système de mesure d'angle. Il manque donc de largeur ou d'ouverture, comme celle formée entre deux lignes parallèles.

Bien que sa définition semble assez simple, l'angle nul est très utile dans de nombreuses applications de physique et d'ingénierie, ainsi que dans la navigation et la conception.

Figure 1. Entre la vitesse et l'accélération de la voiture, il y a un angle nul, donc la voiture va de plus en plus vite. Source: Wikimedia Commons.

Il y a des grandeurs physiques qui doivent être alignées en parallèle pour obtenir certains effets: si une voiture se déplace en ligne droite sur une autoroute et entre son vecteur vitesse v et son vecteur accélération a il y a 0 °, la voiture se déplace de plus en plus vite, mais si la voiture freins, son accélération est opposée à sa vitesse (voir figure 1).

La figure suivante montre différents types d'angle, y compris l'angle nul vers la droite. Comme on peut le voir, l'angle 0º manque de largeur ou d'ouverture.

Figure 2. Types d'angle, y compris l'angle nul. Source: Wikimedia Commons. Orias.

Exemples d'angles nuls

Les lignes parallèles sont connues pour former un angle nul les unes avec les autres. Lorsque vous avez une ligne horizontale, elle est parallèle à l'axe x du système de coordonnées cartésien, donc son inclinaison par rapport à elle est de 0. En d'autres termes, les lignes horizontales ont une pente nulle.

Figure 3. Les lignes horizontales ont une pente nulle. Source: F. Zapata.

De plus, les rapports trigonométriques de l'angle nul sont 0, 1 ou infini. Par conséquent, l'angle nul est présent dans de nombreuses situations physiques qui impliquent des opérations avec des vecteurs. Ces raisons sont:

-sin 0º = 0

-cos 0º = 1

-tg 0º = 0

-sec 0º = 1

-cosec 0º → ∞

-ctg 0º → ∞

Et ils seront utiles pour analyser quelques exemples de situations dans lesquelles la présence de l'angle nul joue un rôle fondamental:

- Effets de l'angle nul sur les grandeurs physiques

Ajout de vecteur

Lorsque deux vecteurs sont parallèles, l'angle entre eux est nul, comme le montre la figure 4a ci-dessus. Dans ce cas, la somme des deux est effectuée en les plaçant l'une après l'autre et la grandeur du vecteur somme est la somme des grandeurs des addends (figure 4b).

Figure 4. Somme des vecteurs parallèles, dans ce cas l'angle entre eux est un angle nul. Source: F. Zapata.

Lorsque deux vecteurs sont parallèles, l'angle entre eux est nul, comme le montre la figure 4a ci-dessus. Dans ce cas, la somme des deux est effectuée en les plaçant l'une après l'autre et la grandeur du vecteur somme est la somme des grandeurs des addends (figure 4b)

Le couple ou le couple

Le couple ou couple provoque la rotation d'un corps. Cela dépend de l'ampleur de la force appliquée et de la manière dont elle est appliquée. Un exemple très représentatif est la clé de la figure.

Pour un meilleur effet de rotation, la force est appliquée perpendiculairement à la poignée de la clé, vers le haut ou vers le bas, mais aucune rotation n'est attendue si la force est parallèle à la poignée.

Figure 5. Lorsque l'angle entre les vecteurs position et force est nul, aucun couple n'est produit et il n'y a donc pas d'effet de rotation. Source: F. Zapata.

Mathématiquement, le couple τ est défini comme le produit vectoriel ou produit croisé entre les vecteurs r (vecteur de position) et F (vecteur de force) de la figure 5:

τ = r x F

L'amplitude du couple est:

τ = r F sin θ

Θ étant l'angle entre r et F. Lorsque sin θ = 0 le couple est nul, dans ce cas θ = 0º (ou aussi 180º).

Flux de champ électrique

Le flux de champ électrique est une quantité scalaire qui dépend de l'intensité du champ électrique ainsi que de l'orientation de la surface à travers laquelle il passe.

Sur la figure 6 il y a une surface circulaire de la zone A à travers laquelle les lignes de champ électrique passe-E. L'orientation de la surface est donnée par le vecteur normal n. A gauche le champ et le vecteur normal forment un angle aigu arbitraire θ, au centre ils forment un angle nul l'un avec l'autre, et à droite ils sont perpendiculaires.

Lorsque E et n sont perpendiculaires, les lignes de champ ne traversent pas la surface et donc le flux est nul, tandis que lorsque l'angle entre E et n est nul, les lignes traversent complètement la surface.

En désignant le flux de champ électrique par la lettre grecque Φ (lire «fi»), sa définition pour un champ uniforme comme sur la figure, ressemble à ceci:

Φ = E • n A

Le point au milieu des deux vecteurs désigne le produit scalaire ou le produit scalaire, qui est également défini comme suit:

Φ = E • n A = EAcosθ

Le gras et les flèches au-dessus de la lettre sont des ressources pour différencier un vecteur et sa magnitude, qui est indiquée par des lettres normales. Puisque cos 0 = 1, le flux est maximal lorsque E et n sont parallèles.

Figure 6. Le flux du champ électrique dépend de l'orientation entre la surface et le champ électrique. Source: F. Zapata.

Exercices

- Exercice 1

Deux forces P et Q agissent simultanément sur un objet ponctuel X, les deux forces forment initialement un angle θ entre elles. Qu'arrive-t-il à la magnitude de la force résultante lorsque θ diminue à zéro?

Figure 7. L'angle entre deux forces qui agissent sur un corps diminue jusqu'à ce qu'il soit annulé, auquel cas la magnitude de la force résultante acquiert sa valeur maximale. Source: F. Zapata.

Solution

L'amplitude de la force résultante Q + P augmente progressivement jusqu'à atteindre son maximum lorsque Q et P sont complètement parallèles (figure 7 à droite).

- Exercice 2

Indiquez si l'angle nul est une solution de l'équation trigonométrique suivante:

Solution

Une équation trigonométrique est une équation dans laquelle l'inconnu fait partie de l'argument d'un rapport trigonométrique. Pour résoudre l'équation proposée, il est pratique d'utiliser la formule du cosinus de l'angle double:

cos 2x = cos ² x - sin ² x

Parce que de cette façon, l'argument sur le côté gauche devient x au lieu de 2x. Ensuite:

cos ² x - sin ² x = 1 + 4 sin x

Par contre cos ² x + sin ² x = 1, donc:

cos ² x - sin ² x = cos ² x + sin ² x + 4 sin x

Le terme cos ² x annule et reste:

- sin ² x = sin ² x + 4 sin x → - ² sin ² x - 4 sinx = 0 → ² sin ² x + 4 sinx = 0

Maintenant, le changement de variable suivant est effectué: sinx = u et l'équation devient:

2u ² + 4u = 0

2u (u + 4) = 0

Dont les solutions sont: u = 0 et u = -4. En retournant le changement, nous aurions deux possibilités: sin x = 0 et sinx = -4. Cette dernière solution n'est pas viable, car le sinus de tout angle est compris entre -1 et 1, nous nous retrouvons donc avec la première alternative:

sin x = 0

Par conséquent, x = 0º est une solution, mais tout angle dont le sinus est égal à 0 fonctionne également, qui peut aussi être 180º (π radians), 360º (2 π radians) et les négatifs respectifs.

La solution la plus générale de l'équation trigonométrique est: x = kπ où k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…. k un entier.

Références

1. Baldor, A. 2004. Géométrie plane et spatiale avec trigonométrie. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. Figueroa, D. (2005). Série: Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 3. Systèmes de particules. Edité par Douglas Figueroa (USB).
3. Figueroa, D. (2005). Série: Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 5. Interaction électrique. Edité par Douglas Figueroa (USB).
4. OnlineMathLearning. Types d'angles. Récupéré de: onlinemathlearning.com.
5. Zill, D. 2012. Algèbre, trigonométrie et géométrie analytique. McGraw Hill Interamericana.