NOMBRES RATIONNELS: PROPRIÉTÉS, EXEMPLES ET OPÉRATIONS - MATEMATIQUES - 2025

Les nombres rationnels sont tous les nombres peuvent être obtenus comme la division de deux entiers. Des exemples de nombres rationnels sont: 3/4, 8/5, -16/3 et ceux qui apparaissent dans la figure suivante. En nombre rationnel, le quotient est indiqué, il est possible de le faire plus tard si nécessaire.

Le chiffre représente n'importe quel objet, rond pour plus de confort. Si nous voulons le diviser en 2 parties égales, comme à droite, il nous reste deux moitiés et chacune vaut 1/2.

Figure 1. Les nombres rationnels sont utilisés pour diviser le tout en plusieurs parties. Source: Freesvg.

En le divisant en 4 parties égales, nous obtiendrons 4 pièces et chacune vaut 1/4, comme dans l'image au centre. Et si elle doit être divisée en 6 parties égales, chaque partie vaudrait 1/6, ce que nous voyons dans l'image de gauche.

Bien sûr, nous pourrions également le diviser en deux parties inégales, par exemple nous pourrions conserver 3/4 parties et économiser 1/4 partie. D'autres divisions sont également possibles, telles que 4/6 pièces et 2/6 pièces. L'important est que la somme de toutes les parties soit de 1.

De cette façon, il est évident qu'avec des nombres rationnels, vous pouvez diviser, compter et distribuer des choses comme la nourriture, l'argent, la terre et toutes sortes d'objets en fractions. Ainsi, le nombre d'opérations pouvant être effectuées avec des nombres est élargi.

Les nombres rationnels peuvent également être exprimés sous forme décimale, comme on peut le voir dans les exemples suivants:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333…..

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857 ………

Plus tard, nous indiquerons comment passer d'une forme à une autre avec des exemples.

Propriétés des nombres rationnels

Les nombres rationnels, dont nous désignerons l'ensemble par la lettre Q, ont les propriétés suivantes:

-Q comprend les nombres naturels N et les entiers Z.

En tenant compte du fait que tout nombre a peut être exprimé comme le quotient entre lui-même et 1, il est facile de voir que parmi les nombres rationnels, il y a aussi des nombres naturels et des entiers.

Ainsi, le nombre naturel 3 peut être écrit sous forme de fraction, ainsi que -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

De cette manière, Q est un ensemble numérique qui comprend un plus grand nombre de nombres, ce qui est très nécessaire, car les nombres «ronds» ne suffisent pas à décrire toutes les opérations possibles à faire.

-Les nombres rationnels peuvent être ajoutés, soustraits, multipliés et divisés, le résultat de l'opération étant un nombre rationnel: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Entre chaque paire de nombres rationnels, un autre nombre rationnel peut toujours être trouvé. En fait, entre deux nombres rationnels, il y a des nombres rationnels infinis.

Par exemple, entre les rationnels 1/4 et 1/2 se trouvent les rationnels 3/10, 7/20, 2/5 (et bien d'autres), qui peuvent être vérifiés en les exprimant sous forme de décimales.

-Tout nombre rationnel peut être exprimé comme: i) un nombre entier ou ii) un nombre décimal limité (strict) ou périodique: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,16666666 ……

-Un même nombre peut être représenté par des fractions équivalentes infinies et toutes appartiennent à Q. Voyons ce groupe:

Ils représentent tous la décimale 0,428571…

-De toutes les fractions équivalentes qui représentent le même nombre, la fraction irréductible, la plus simple de toutes, est le représentant canonique de ce nombre. Le représentant canonique de l'exemple ci-dessus est 3/7.

Figure 2.- L'ensemble Q des nombres rationnels. Source: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Exemples de nombres rationnels

-Les fractions appropriées, celles dont le numérateur est inférieur au dénominateur:

-Les fractions incorrectes, dont le numérateur est supérieur au dénominateur:

-Nombres naturels et nombres entiers:

-Fractions équivalentes:

Représentation décimale d'un nombre rationnel

Lorsque le numérateur est divisé par le dénominateur, la forme décimale du nombre rationnel est trouvée. Par exemple:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0,11111…

6/11 = 0,545454…

Dans les deux premiers exemples, le nombre de décimales est limité. Cela signifie que lorsque la division est effectuée, un reste de 0 est finalement obtenu.

Par contre, dans les deux suivants, le nombre de décimales est infini et c'est pourquoi les points de suspension sont placés. Dans ce dernier cas, il y a un motif dans les décimales. Dans le cas de la fraction 1/9, le nombre 1 est répété indéfiniment, tandis qu'en 6/11 il est 54.

Lorsque cela se produit, la décimale est dite périodique et est indiquée par un signe d'insertion comme ceci:

Transformer un décimal en une fraction

S'il s'agit d'une décimale limitée, la virgule est simplement éliminée et le dénominateur devient l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y a de chiffres dans la décimale. Par exemple, pour transformer le nombre décimal 1,26 en fraction, écrivez-le comme ceci:

1,26 = 126/100

Ensuite, la fraction résultante est simplifiée au maximum:

126/100 = 63/50

Si la décimale est illimitée, la période est d'abord identifiée. Ensuite, ces étapes sont suivies pour trouver la fraction résultante:

-Le numérateur est la soustraction entre le nombre (sans virgule ni signe d'insertion) et la partie qui n'a pas de signe d'insertion.

-Le dénominateur est un entier avec autant de 9 qu'il y a de nombres sous le circonflexe, et autant de 0 qu'il y a de nombres de la partie décimale qui ne sont pas sous le circonflexe.

Suivons cette procédure pour transformer le nombre décimal 0,428428428… en une fraction.

-D'abord, la période est identifiée, qui est la séquence qui se répète: 428.

-Ensuite, l'opération est faite pour soustraire le nombre sans virgule ni accent: 0428 de la partie qui n'a pas de circonflexe, qui est 0. Cela reste comme ça 428 - 0 = 428.

-Le dénominateur est construit, sachant que sous le circonflexe il y a 3 chiffres et tous sont sous le circonflexe. Le dénominateur est donc 999.

-Enfin la fraction est formée et simplifiée si possible:

0,428 = 428/999

Il n'est pas possible de simplifier davantage.

Opérations avec des nombres rationnels

- Ajouter et soustraire

Fractions de même dénominateur

Lorsque les fractions ont le même dénominateur, les additionner et / ou les soustraire est très facile, car les numérateurs sont simplement ajoutés algébriquement, laissant le même que les addends comme dénominateur du résultat. Enfin, si possible, il est simplifié.

Exemple

Effectuez l'addition algébrique suivante et simplifiez le résultat:

La fraction résultante est déjà irréductible.

Fractions avec différents dénominateurs

Dans ce cas, les additifs sont remplacés par des fractions équivalentes de même dénominateur puis la procédure déjà décrite est suivie.

Exemple

Ajoutez algébriquement les nombres rationnels suivants, en simplifiant le résultat:

Les étapes sont:

-Déterminer le plus petit commun multiple (lcm) des dénominateurs 5, 8 et 3:

ppcm (5,8,3) = 120

Ce sera le dénominateur de la fraction résultante sans simplifier.

-Pour chaque fraction: divisez le LCM par le dénominateur et multipliez par le numérateur. Le résultat de cette opération est placé, avec son signe respectif, au numérateur de la fraction. De cette manière, une fraction équivalente à l'original est obtenue, mais avec le LCM comme dénominateur.

Par exemple, pour la première fraction, le numérateur est construit comme ceci: (120/5) x 4 = 96 et on obtient:

Procédez de la même manière pour les fractions restantes:

Enfin, les fractions équivalentes sont remplacées sans oublier leur signe et la somme algébrique des numérateurs est effectuée:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Multiplication et division

La multiplication et la division se font selon les règles ci-dessous:

Figure 3. Règles de multiplication et de division des nombres rationnels. Source: F. Zapata.

Dans tous les cas, il est important de se rappeler que la multiplication est commutative, ce qui signifie que l'ordre des facteurs ne modifie pas le produit. Cela ne se produit pas avec la division, il faut donc veiller à respecter l'ordre entre le dividende et le diviseur.

Exemple 1

Effectuez les opérations suivantes et simplifiez le résultat:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Réponds à

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Réponse b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Exemple 2

Luisa avait 45 $. Il en a dépensé un dixième pour acheter un livre et 2/5 de ce qui restait sur un t-shirt. Combien d'argent reste-t-il à Luisa? Exprimez le résultat sous forme de fraction irréductible.

Solution

Le coût du livre (1/10) x 45 USD = 0,1 x 45 USD = 4,5 USD

Par conséquent, Luisa s'est retrouvée avec:

45 à 4,5 $ = 40,5 $

Avec cet argent, Luisa est allée au magasin de vêtements et a acheté la chemise, dont le prix est:

(2/5) x 40,5 USD = 16,2 USD

Maintenant, Luisa a dans son portefeuille:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

Pour l'exprimer sous forme de fraction, il s'écrit comme ceci:

24,3 = 243/10

C'est irréductible.

Références

1. Baldor, A. 1986. Arithmétique. Éditions et distributions Codex.
2. Carena, M. 2019. Manuel de mathématiques. Université nationale du littoral.
3. Figuera, J. 2000. Mathématiques 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
5. Les nombres rationnels. Récupéré de: Cimanet.uoc.edu.
6. Nombres rationnels. Récupéré de: webdelprofesor.ula.ve.