NOMBRES NATURELS: HISTOIRE, PROPRIÉTÉS, OPÉRATIONS, EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

Les nombres naturels sont ceux qui servent à compter le nombre d'éléments d'un certain ensemble. Par exemple, les nombres naturels sont ceux qui sont utilisés pour savoir combien de pommes il y a dans une boîte. Ils permettent également de classer les éléments d'un ensemble, par exemple les premiers niveleurs par ordre de taille.

Dans le premier cas on parle de nombres cardinaux et dans le second de nombres ordinaux, en fait, "premier" et "second" sont des nombres naturels ordinaux. Au contraire, un (1), deux (2) et trois (3) sont des nombres naturels cardinaux.

Figure 1. Les nombres naturels sont ceux utilisés pour le comptage et l'ordre. Source: Pixabay.

En plus d'être utilisés pour compter et classer, les nombres naturels sont également utilisés pour identifier et différencier les éléments d'un certain ensemble.

Par exemple, la carte d'identité a un numéro unique, attribué à chaque personne qui appartient à un certain pays.

En notation mathématique, l'ensemble des nombres naturels est noté comme ceci:

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, ………}

Et l'ensemble des nombres naturels avec zéro est noté de cette autre manière:

ℕ ⁺ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ………}

Dans les deux ensembles, les ellipses indiquent que les éléments continuent consécutivement à l'infini, le mot infini étant le moyen de dire que l'ensemble n'a pas de fin.

Quelle que soit la taille d'un nombre naturel, vous pouvez toujours obtenir le prochain plus élevé.

L'histoire

Avant que les nombres naturels n'apparaissent, c'est-à-dire l'ensemble des symboles et des noms pour désigner une certaine quantité, les premiers humains ont utilisé un autre ensemble de comparaison, par exemple les doigts des mains.

Donc, pour dire qu'ils ont trouvé un troupeau de cinq mammouths, ils ont utilisé les doigts d'une main pour symboliser ce nombre.

Ce système pouvait varier d'un groupe humain à l'autre, peut-être que d'autres utilisaient à la place de leurs doigts un groupe de bâtons, de pierres, de perles de collier ou de nœuds dans une corde. Mais le plus sûr, c'est qu'ils ont utilisé leurs doigts.

Ensuite, les symboles ont commencé à apparaître pour représenter un certain montant. Au début, c'étaient des marques sur un os ou un bâton.

Des gravures cunéiformes sur des panneaux d'argile, représentant des symboles numériques et datant de 400 avant JC, sont connues de la Mésopotamie, qui est actuellement la nation de l'Irak.

Les symboles évoluaient, donc les Grecs et plus tard les Romains utilisaient des lettres pour désigner les nombres.

Chiffres arabes

Les nombres arabes sont le système que nous utilisons aujourd'hui et ils ont été introduits en Europe par les Arabes qui occupaient la péninsule ibérique, mais ils ont en fait été inventés en Inde, c'est pourquoi ils sont connus sous le nom de système de numérotation indo-arabe.

Notre système de numérotation est basé sur dix, car il y a dix doigts.

Nous avons dix symboles pour exprimer n'importe quelle quantité numérique, un symbole pour chaque doigt de la main.

Ces symboles sont:

Avec ces symboles, il est possible de représenter n'importe quelle quantité en utilisant le système positionnel: 10 est un dix unités nulles, 13 est un dix et trois unités, 22 deux dizaines deux unités.

Il faut préciser qu'au-delà des symboles et du système de numérotation, les nombres naturels ont toujours existé et ont toujours été utilisés d'une manière ou d'une autre par les humains.

Propriétés des nombres naturels

L'ensemble des nombres naturels est:

ℕ + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ………}

Et avec eux, vous pouvez compter le nombre d'éléments dans un autre ensemble ou également ordonner ces éléments, si chacun se voit attribuer un nombre naturel.

C'est infini et dénombrable

L'ensemble des nombres naturels est un ensemble ordonné qui a des éléments infinis.

Cependant, il s'agit d'un ensemble dénombrable dans le sens où il est possible de savoir combien d'éléments ou de nombres naturels il y a entre un nombre et un autre.

Par exemple, on sait qu'entre 5 et 9 il y a cinq éléments, dont 5 et 9.

C'est un ensemble soigné

Étant un ensemble ordonné, vous pouvez savoir quels nombres sont après ou avant un nombre donné. De cette manière, il est possible d'établir, entre deux éléments de l'ensemble naturel, des relations de comparaison telles que celles-ci:

7> 3 signifie que sept est supérieur à trois

2 <11 est lu deux est inférieur à onze

Ils peuvent être regroupés (opération d'addition)

3 + 2 = 5 signifie que si vous joignez trois éléments avec deux éléments, vous avez cinq éléments. Le symbole + désigne l'opération d'addition.

Opérations avec des nombres naturels

- Somme

1.- L'addition est une opération interne, en ce sens que si deux éléments de l'ensemble ℕ d'entiers naturels sont ajoutés, un autre élément appartenant audit ensemble sera obtenu. Symboliquement, cela se lirait comme ceci:

2.- L'opération de somme sur les naturels est commutative, ce qui signifie que le résultat est le même même si les addends sont inversés. Symboliquement, il est exprimé comme ceci:

Si a ∊ ℕ et b ∊ ℕ, alors a + b = b + a = c où c ∊ ℕ

Par exemple, 3 + 5 = 8 et 5 + 3 = 8, où 8 est un élément des nombres naturels.

3.- La somme des nombres naturels remplit la propriété associative:

a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c

Un exemple le rendra plus clair. Nous pouvons ajouter comme ceci:

3 + 6 + 8 = 3 + (6 + 8) = 3 + 14 = 17

Et de cette manière aussi:

3 + 6 + 8 = (3 + 6) + 8 = 9 + 8 = 17

Enfin, si vous ajoutez de cette manière, vous obtenez également le même résultat:

3 + 6 + 8 = (3 + 8) + 6 = 11 + 6 = 17

4.- Il y a l'élément neutre de la somme et cet élément est nul: a + 0 = 0 + a = a. Par exemple:

7 + 0 = 0 + 7 = 7.

- Soustraction

-L'opérateur de soustraction est désigné par le symbole -. Par exemple:

5 - 3 = 2.

Il est important que le premier opérande soit supérieur ou égal à (≥) au second opérande, car sinon l'opération de soustraction ne serait pas définie dans les naturels:

a - b = c, où c ∊ ℕ si et seulement si a ≥ b.

- Multiplication

-La multiplication est notée a ⋅ au moyen de s'additionner b fois. Par exemple: 6 ⋅ 4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24.

- Division

La division est désignée par: a ÷ signifie combien de fois b dans a. Par exemple, 6 ÷ 2 = 3 car 2 est contenu dans 6 trois fois (3).

Exemples

Figure 2. Les nombres naturels vous permettent de compter le nombre de pommes dans une boîte. Source: pixabay

- Exemple 1

Dans une boîte, 15 pommes sont comptées, tandis que dans une autre, 22 pommes sont comptées. Si toutes les pommes de la deuxième boîte sont placées dans la première, combien y aura-t-il de pommes dans la première boîte?

Répondre

15 + 22 = 37 pommes.

- Exemple 2

Si dans la boîte de 37 pommes 5 sont retirées, combien en restera-t-il dans la boîte?

Répondre

37-5 = 32 pommes.

- Exemple 3

Si vous avez 5 boîtes de 32 pommes chacune, combien y aura-t-il de pommes en tout?

Répondre

L'opération consisterait à ajouter 32 avec lui-même 5 fois ce qui est noté comme ceci:

32 ⋅ 5 = 32 + 32 + 32 + 32 + 32 = 160

- Exemple 4

Vous souhaitez diviser une boîte de 32 pommes en 4 parties. Combien de pommes chaque partie contiendra-t-elle?

Répondre

L'opération est une division qui est notée comme ceci:

32 ÷ 4 = 8

Autrement dit, il y a quatre groupes de huit pommes chacun.

Références

1. Ensemble de nombres naturels pour la cinquième année de l'école primaire. Récupéré de: activitieseducativas.net
2. Mathématiques pour les enfants. Nombres naturels. Récupéré de: elhuevodechocolate.com
3. Martha. Nombres naturels. Récupéré de: superprof.es
4. Un enseignant. Les nombres naturels. Récupéré de: unofesor.com
5. Wikipédia. Entier naturel. Récupéré de: wikipedia.com