NOMBRES COMPLEXES: PROPRIÉTÉS, EXEMPLES, OPÉRATIONS - MATEMATIQUES - 2025

Les nombres complexes sont l'ensemble numérique couvrant les nombres réels et toutes les racines des polynômes, y compris les paires racines de nombres négatifs. Ces racines n'existent pas dans l'ensemble des nombres réels, mais dans les nombres complexes, il y a la solution.

Un nombre complexe se compose d'une partie réelle et d'une partie dite "imaginaire". La partie réelle est appelée a, par exemple, et la partie imaginaire ib, avec a et b nombres réels et "i" comme unité imaginaire. De cette façon, le nombre complexe prend la forme:

Figure 1.- Représentation binomiale d'un nombre complexe en termes de partie réelle et de partie imaginaire. Source: Pixabay.

Des exemples de nombres complexes sont 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Mais avant d'opérer avec eux, voyons d'où provient l'unité imaginaire i, en considérant cette équation quadratique:

x ² - 10x + 34 = 0

Dans laquelle a = 1, b = -10 et c = 34.

Lors de l'application de la formule de résolution pour déterminer la solution, nous trouvons ce qui suit:

Comment déterminer la valeur de √-36? Il n'y a pas de nombre réel qui au carré produit une quantité négative. Ensuite, on conclut que cette équation n'a pas de vraies solutions.

Cependant, nous pouvons écrire ceci:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Si nous définissons une certaine valeur x telle que:

x ² = -1

Ensuite:

x = ± √-1

Et l'équation ci-dessus aurait une solution. Par conséquent, l'unité imaginaire a été définie comme:

i = √-1

Et donc:

√-36 = 6i

De nombreux mathématiciens de l'Antiquité ont travaillé à la résolution de problèmes similaires, notamment la Renaissance Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) et Raffaele Bombelli (1526-1572).

Des années plus tard, René Descartes (1596-1650) a appelé les quantités «imaginaires» comme √-36 dans l'exemple. Pour cette raison, √-1 est appelé unité imaginaire.

Propriétés des nombres complexes

-L'ensemble des nombres complexes est noté C et comprend les nombres réels R et les nombres imaginaires Im. Les ensembles de nombres sont représentés dans un diagramme de Venn, comme illustré dans la figure suivante:

Figure 2. Diagramme de Venn des ensembles de nombres. Source: F. Zapata.

-Tout nombre complexe se compose d'une partie réelle et d'une partie imaginaire.

-Lorsque la partie imaginaire d'un nombre complexe est 0, c'est un nombre réel pur.

-Si la partie réelle d'un nombre complexe est 0, alors le nombre est purement imaginaire.

-Deux nombres complexes sont égaux si leur partie réelle et leur partie imaginaire respectives sont identiques.

-Avec les nombres complexes, les opérations connues d'addition, de soustraction, de multiplication, de produit et d'amélioration sont effectuées, aboutissant à un autre nombre complexe.

Représentation des nombres complexes

Les nombres complexes peuvent être représentés de différentes manières. Voici les principaux:

- Forme binomiale

C'est la forme donnée au début, où z est le nombre complexe, a est la partie réelle, b est la partie imaginaire et i est l'unité imaginaire:

Ou aussi:

Une façon de représenter graphiquement le nombre complexe consiste à utiliser le plan complexe illustré sur cette figure. L'axe imaginaire Im est vertical, tandis que l'axe réel est horizontal et est noté Re.

Le nombre complexe z est représenté dans ce plan comme un point de coordonnées (x, y) ou (a, b), comme cela se fait avec les points du plan réel.

La distance de l'origine au point z est le module du nombre complexe, noté r, tandis que φ est l'angle que r fait avec l'axe réel.

Figure 3. Représentation d'un nombre complexe dans le plan complexe. Source: Wikimedia Commons.

Cette représentation est étroitement liée à celle des vecteurs dans le plan réel. La valeur de r correspond au module du nombre complexe.

- Forme polaire

La forme polaire consiste à exprimer le nombre complexe en donnant les valeurs de r et de φ. Si l'on regarde la figure, la valeur de r correspond à l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Les jambes valent a et b, ou x et y.

De la forme binomiale ou binomiale, on peut passer à la forme polaire en:

L'angle φ est celui formé par le segment r avec l'axe horizontal ou axe imaginaire. Il est connu comme l'argument des nombres complexes. De cette manière:

L'argument a des valeurs infinies, en tenant compte du fait qu'à chaque fois qu'un tour est tourné, qui vaut 2π radians, r occupe à nouveau la même position. De cette manière générale, l'argument de z, noté Arg (z), est exprimé comme ceci:

Où k est un entier et est utilisé pour indiquer le nombre de tours tournés: 2, 3, 4…. Le signe indique le sens de rotation, s'il est dans le sens horaire ou antihoraire.

Figure 4. Représentation polaire d'un nombre complexe dans le plan complexe. Source: Wikimedia Commons.

Et si nous voulons passer de la forme polaire à la forme binomiale, nous utilisons les rapports trigonométriques. D'après la figure précédente, nous pouvons voir que:

x = r cos φ

y = r sin φ

De cette façon z = r (cos φ + i sin φ)

Qui est abrégé comme ceci:

z = r cis φ

Exemples de nombres complexes

Les nombres complexes suivants sont donnés sous forme binomiale:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

Et ceux-ci sous la forme d'une paire ordonnée:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7,0)

Enfin, ce groupe est donné sous forme polaire ou trigonométrique:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

À quoi servent-ils?

L'utilité des nombres complexes va au-delà de la résolution de l'équation quadratique présentée au début, car ils sont essentiels dans le domaine de l'ingénierie et de la physique, en particulier dans:

-L'étude des ondes électromagnétiques

-Analyse du courant alternatif et de la tension

-La modélisation de toutes sortes de signaux

-Théorie de la relativité, où le temps est supposé comme une grandeur imaginaire.

Opérations de nombres complexes

Avec les nombres complexes, nous pouvons effectuer toutes les opérations effectuées avec des nombres réels. Certains sont plus faciles à faire si les nombres se présentent sous forme binomiale, comme l'addition et la soustraction. En revanche, la multiplication et la division sont plus simples si elles sont effectuées avec la forme polaire.

Voyons quelques exemples:

- Exemple 1

Ajouter z ₁ = 2 + 5i et z ₂ = -3 -8i

Solution

Les parties réelles sont ajoutées séparément des parties imaginaires:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Exemple 2

Multiplier z ₁ = 4 cis 45º et z ₂ = 5 cis 120º

Solution

On peut montrer que le produit de deux nombres complexes sous forme polaire ou trigonométrique est donné par:

z ₁. z ₂ = r ₁.r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂)

Selon ce:

z ₁. z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

Application

Une application simple des nombres complexes consiste à trouver toutes les racines d'une équation polynomiale comme celle montrée au début de l'article.

Dans le cas de l'équation x ² - 10x + 34 = 0, en appliquant la formule de résolution, nous obtenons:

Par conséquent, les solutions sont:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Références

1. Earl, R. Nombres complexes. Récupéré de: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Mathématiques 1ère. Diversifié. Éditions CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Sélection de sujets mathématiques. Publications de Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
5. Wikipédia. Nombres complexes. Récupéré de: en.wikipedia.org