NOMBRE D'EULER OU NOMBRE E: COMBIEN VAUT-IL, PROPRIÉTÉS, APPLICATIONS - MATEMATIQUES - 2025

Le nombre d'Euler ou nombre e est une constante mathématique bien connue qui apparaît fréquemment dans de nombreuses applications scientifiques et économiques, avec le nombre π et d'autres nombres importants en mathématiques.

Une calculatrice scientifique renvoie la valeur suivante pour le nombre e:

Figure 1. Le nombre d'Euler apparaît fréquemment dans Science. Source: F. Zapata.

e = 2,718281828…

Mais beaucoup plus de décimales sont connues, par exemple:

e = 2,71828182845904523536…

Et les ordinateurs modernes ont trouvé des milliards de décimales pour le nombre e.

C'est un nombre irrationnel, ce qui signifie qu'il a un nombre infini de décimales sans motif répétitif (la séquence 1828 apparaît deux fois au début et n'est plus répétée).

Et cela signifie également que le nombre e ne peut pas être obtenu comme quotient de deux nombres entiers.

L'histoire

Le nombre e a été identifié par le scientifique Jacques Bernoulli en 1683 alors qu'il étudiait le problème de l'intérêt composé, mais auparavant il était apparu indirectement dans les travaux du mathématicien écossais John Napier, qui a inventé les logarithmes vers 1618.

Cependant, c'est Leonhard Euler en 1727 qui lui donne le nom numéro e et étudie intensivement ses propriétés. C'est pourquoi il est également connu sous le nom de nombre d'Euler et aussi comme base naturelle des logarithmes naturels (un exposant) actuellement utilisés.

Combien vaut le nombre e?

Le nombre e vaut:

e = 2,71828182845904523536…

Les points de suspension signifient qu'il y a un nombre infini de décimales et en fait, avec les ordinateurs d'aujourd'hui, des millions d'entre eux sont connus.

Représentations du nombre e

Il existe plusieurs manières de définir e que nous décrivons ci-dessous:

Le nombre e comme limite

L'une des différentes manières d'exprimer le nombre e est celle que le scientifique Bernoulli a trouvée dans ses travaux sur l'intérêt composé:

Dans lequel vous devez faire de la valeur n un très grand nombre.

Il est facile de vérifier, à l'aide d'une calculatrice, que lorsque n est très grand, l'expression précédente tend vers la valeur de e donnée ci-dessus.

Bien sûr, nous pouvons nous demander quelle taille peut être faite, alors essayons des nombres ronds, comme ceux-ci par exemple:

n = 1 000; 10 000 ou 100 000

Dans le premier cas on obtient e = 2,7169239…. Dans le deuxième e = 2,7181459… et dans le troisième, il est beaucoup plus proche de la valeur de e: 2,7182682. On peut déjà imaginer qu'avec n = 1 000 000 ou plus, l'approximation sera encore meilleure.

En langage mathématique, la procédure consistant à faire en sorte que n se rapproche de plus en plus d'une très grande valeur est appelée la limite à l'infini et est notée comme ceci:

Pour désigner l'infini, le symbole "∞" est utilisé.

Le nombre e comme somme

Il est également possible de définir le nombre e grâce à cette opération:

Les chiffres qui apparaissent dans le dénominateur: 1, 2, 6, 24, 120… correspondent à l'opération n!, Où:

Et par définition 0! = 1.

Il est facile de vérifier que plus il y a d'ajouts ajoutés, plus le nombre e est atteint avec précision.

Faisons quelques tests avec la calculatrice, en ajoutant de plus en plus d'ajouts:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806

Plus il y a de termes ajoutés à la somme, plus le résultat ressemble à e.

Les mathématiciens ont conçu une notation compacte pour ces sommes impliquant de nombreux termes, en utilisant le symbole de sommation Σ:

Cette expression se lit comme ceci "somme de n = 0 à l'infini de 1 entre n factorielle".

Le nombre e du point de vue géométrique

Le nombre e a une représentation graphique liée à l'aire sous le graphique de la courbe:

y = 1 / x

Lorsque les valeurs de x sont comprises entre 1 et e, cette aire est égale à 1, comme illustré dans la figure suivante:

Figure 2. Représentation graphique du nombre e: l'aire sous la courbe 1 / x, entre x = 1 et x = e vaut 1. Source: F. Zapata.

Propriétés du nombre e

Certaines des propriétés du nombre e sont:

-Il est irrationnel, en d'autres termes, il ne peut pas être obtenu simplement en divisant deux nombres entiers.

-Le nombre e est également un nombre transcendant, ce qui signifie que e n'est une solution à aucune équation polynomiale.

-Il est lié à quatre autres nombres célèbres dans le domaine des mathématiques, à savoir: π, i, 1 et 0, à travers l'identité d'Euler:

-Les nombres dits complexes peuvent être exprimés par e.

-Il constitue la base des logarithmes naturels ou naturels du temps présent (la définition originale de John Napier diffère un peu).

-C'est le seul nombre tel que son logarithme naturel soit égal à 1, soit:

Applications

Statistiques

Le nombre e apparaît très fréquemment dans le domaine des probabilités et des statistiques, apparaissant dans diverses distributions, telles que normale ou gaussienne, de Poisson et autres.

Ingénierie

En ingénierie, il est fréquent, car la fonction exponentielle y = e ^x est présente en mécanique et électromagnétisme, par exemple. Parmi les nombreuses applications, nous pouvons citer:

-Un câble ou une chaîne qui s'accroche aux extrémités, adopte la forme de la courbe donnée par:

y = (e ^x + e ^-x) / 2

-Un condensateur C initialement déchargé, qui est connecté en série à une résistance R et une source de tension V à charger, acquiert une certaine charge Q en fonction du temps t donné par:

Q (t) = CV (1-e ^{-t / RC})

la biologie

La fonction exponentielle y = Ae ^Bx, avec A et B constantes, est utilisée pour modéliser la croissance cellulaire et la croissance bactérienne.

Physique

En physique nucléaire, la désintégration radioactive et la détermination de l'âge sont modélisées par datation au radiocarbone.

Économie

Dans le calcul des intérêts composés, le nombre e apparaît naturellement.

Supposons que vous ayez une certaine somme d'argent P _o investir à un taux d'intérêt de i% par an.

Si vous laissez l'argent pendant 1 an, après cette période, vous aurez:

Après une autre année sans y toucher, vous aurez:

Et continuant ainsi pendant n ans:

Souvenons-nous maintenant de l'une des définitions de e:

Cela ressemble un peu à l'expression de P, donc il doit y avoir une relation.

Nous allons distribuer le taux d'intérêt nominal i sur n périodes de temps, de cette manière le taux d'intérêt composé sera i / n:

Cette expression ressemble un peu plus à notre limite, mais ce n'est toujours pas exactement la même chose.

Cependant, après quelques manipulations algébriques, on peut montrer qu'en effectuant ce changement de variable:

Notre argent P devient:

Et ce qu'il y a entre les accolades, même s'il est écrit avec la lettre h, est égal à l'argument de la limite qui définit le nombre e, ne manquant que la limite.

Faisons h → ∞, et ce qu'il y a entre les accolades devient le nombre e. Cela ne signifie pas que nous devons attendre infiniment longtemps pour retirer notre argent.

Si nous regardons de près, en faisant h = n / i et en tendant vers ∞, ce que nous avons en fait fait est d'étaler le taux d'intérêt sur de très, très petites périodes de temps:

i = n / h

C'est ce qu'on appelle la composition continue. Dans un tel cas, le montant d'argent est facilement calculé comme ceci:

Où i est le taux d'intérêt annuel. Par exemple, lors d'un dépôt de 12 € à 9% par an, par capitalisation continue, après un an vous avez:

Avec un bénéfice de 1,13 €.

Références

1. Profitez des maths. Intérêt composé: composition périodique. Récupéré de: enjoylasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. Mathématiques 1ère. Diversifié. Éditions CO-BO.
3. García, M. Le nombre e en calcul élémentaire. Récupéré de: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
5. Larson, R. 2010. Calcul d'une variable. 9ème. Édition. McGraw Hill.