MÉTHODE D'EULER: À QUOI ÇA SERT, PROCÉDURE ET EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

La méthode d'Euler est la procédure la plus basique et la plus simple utilisée pour trouver des solutions numériques proches d'une équation différentielle ordinaire du premier ordre, à condition que la condition initiale soit connue.

Une équation différentielle ordinaire (ODE) est l'équation qui relie une fonction inconnue d'une seule variable indépendante à ses dérivées.

Approximations successives par la méthode d'Euler. Source: Oleg Alexandrov

Si la plus grande dérivée qui apparaît dans l'équation est de degré un, alors il s'agit d'une équation différentielle ordinaire du premier degré.

La façon la plus générale d'écrire une équation du premier degré est:

x = x ₀

y = y ₀

Quelle est la méthode d'Euler?

L'idée de la méthode d'Euler est de trouver une solution numérique à l'équation différentielle dans l'intervalle entre X ₀ et X _f.

Premièrement, l'intervalle est discrétisé en n + 1 points:

x ₀, x ₁, x ₂, x ₃ …, x _n

Qui sont obtenus comme ceci:

x _i = x ₀ + ih

Où h est la largeur ou le pas des sous-intervalles:

Avec la condition initiale, alors il est également possible de connaître la dérivée au début:

y '(x _o) = f (x _o, y _o)

Cette dérivée représente la pente de la tangente à la courbe de la fonction y (x) précisément au point:

Ao = (x _o, y _o)

Ensuite, une prédiction approximative de la valeur de la fonction y (x) est faite au point suivant:

y (x ₁) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o, y _o) = y _{o +} hf (x _o, y _o)

Le point approximatif suivant de la solution a alors été obtenu, ce qui correspondrait à:

A ₁ = (x ₁, y ₁)

La procédure est répétée pour obtenir les points successifs

A ₂, A ₃ …, x _n

Dans la figure présentée au début, la courbe bleue représente la solution exacte de l'équation différentielle, et la rouge représente les points approximatifs successifs obtenus par la procédure d'Euler.

Exercices résolus

Exercice 1

I) Soit l'équation différentielle:

Avec la condition initiale x = a = 0; et _a = 1

En utilisant la méthode d'Euler, obtenez une solution approximative de y à la coordonnée X = b = 0,5, en subdivisant l'intervalle en n = 5 parties.

Solution

Les résultats numériques sont résumés comme suit:

D'où il est conclu que la solution Y pour la valeur 0,5 est 1,4851.

Remarque: Smath Studio, un programme gratuit à usage gratuit, a été utilisé pour effectuer les calculs.

Exercice 2

II) En continuant avec l'équation différentielle de l'exercice I), trouvez la solution exacte et comparez-la au résultat obtenu par la méthode d'Euler. Trouvez l'erreur ou la différence entre le résultat exact et approximatif.

Solution

La solution exacte n'est pas très difficile à trouver. La dérivée de la fonction sin (x) est connue pour être la fonction cos (x). Par conséquent, la solution y (x) sera:

y (x) = sin x + C

Pour que la condition initiale soit remplie et (0) = 1, la constante C doit être égale à 1. Le résultat exact est alors comparé à l'approximatif:

On conclut que dans l'intervalle calculé, l'approximation a trois chiffres significatifs de précision.

Exercice 3

III) Considérons l'équation différentielle et ses conditions initiales données ci-dessous:

y '(x) = - y ²

Avec la condition initiale x ₀ = 0; et ₀ = 1

Utilisez la méthode d'Euler pour trouver des valeurs approximatives de la solution y (x) sur l'intervalle x =. Utilisez l'étape h = 0,1.

Solution

La méthode d'Euler est très appropriée pour une utilisation avec une feuille de calcul. Dans ce cas, nous utiliserons la feuille de calcul geogebra, un programme gratuit et open source.

La feuille de calcul de la figure montre trois colonnes (A, B, C), la première est la variable x, la deuxième colonne représente la variable y et la troisième colonne est la dérivée y '.

La ligne 2 contient les valeurs initiales de X, Y, Y '.

Le pas de valeur 0,1 a été placé dans la cellule de position absolue ($ D $ 4).

La valeur initiale de y0 est dans la cellule B2 et y1 dans la cellule B3. Pour calculer y _1, la formule est utilisée:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o, y _o) = y _{o +} hf (x _o, y _o)

Cette formule de feuille de calcul serait le numéro B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

De même, y2 serait dans la cellule B4 et sa formule est indiquée dans la figure suivante:

La figure montre également le graphique de la solution exacte, et les points A, B,…, P de la solution approchée par la méthode d'Euler.

Dynamique newtonienne et méthode d'Euler

La dynamique classique a été développée par Isaac Newton (1643 - 1727). La motivation originale de Leonard Euler (1707 - 1783) pour développer sa méthode, était précisément de résoudre l'équation de la deuxième loi de Newton dans diverses situations physiques.

La deuxième loi de Newton est généralement exprimée sous la forme d'une équation différentielle du deuxième degré:

Où x représente la position d'un objet au temps t. Ledit objet a une masse m et est soumis à une force F. La fonction f est liée à la force et à la masse comme suit:

Pour appliquer la méthode d'Euler, les valeurs initiales du temps t, de la vitesse v et de la position x sont nécessaires.

Le tableau suivant explique comment à partir des valeurs initiales t1, v1, x1 on peut obtenir une approximation de la vitesse v2 et de la position x2, à l'instant t2 = t1 + Δt, où Δt représente une petite augmentation et correspond à l'étape de la méthode de Euler.

Exercice 4

IV) L'un des problèmes fondamentaux de la mécanique est celui d'un bloc de masse M lié à un ressort (ou ressort) de constante élastique K.

La deuxième loi de Newton pour ce problème ressemblerait à ceci:

Dans cet exemple, pour simplifier, nous prendrons M = 1 et K = 1. Trouvez des solutions approximatives de la position x et de la vitesse v par la méthode d'Euler sur l'intervalle de temps en subdivisant l'intervalle en 12 parties.

Prenez 0 comme instant initial, la vitesse initiale 0 et la position initiale 1.

Solution

Les résultats numériques sont présentés dans le tableau suivant:

Les graphiques de la position et de la vitesse entre les instants 0 et 1,44 sont également affichés.

Exercices proposés pour la maison

Exercice 1

Utilisez une feuille de calcul pour déterminer une solution approximative en utilisant la méthode d'Euler pour l'équation différentielle:

y '= - Exp (-y) avec les conditions initiales x = 0, y = -1 dans l'intervalle x =

Commencez par un pas de 0,1. Tracez le résultat.

Exercice 2

À l'aide d'une feuille de calcul, trouvez des solutions numériques à l'équation quadratique suivante, où y est une fonction de la variable indépendante t.

y '' = - 1 / y² avec la condition initiale t = 0; et (0) = 0,5; y '(0) = 0

Trouvez la solution dans l'intervalle en utilisant un pas de 0,05.

Tracez le résultat: y vs t; y 'vs t

Références

1. Méthode Eurler tirée de wikipedia.org
2. Solveur Euler. Tiré de en.smath.com