MODULE YOUNG: CALCUL, APPLICATIONS, EXEMPLES, EXERCICES - PHYSIQUE - 2025

Le module d'Young ou module élastique est la constante reliant la traction ou la compression à l'augmentation ou à la diminution respective de la longueur ayant l'objet sous ces forces.

Les forces externes appliquées aux objets peuvent non seulement changer leur état de mouvement, mais sont également capables de changer leur forme ou même de les casser ou de les fracturer.

Figure 1. Les mouvements du chat sont pleins d'élasticité et de grâce. Source: Pixabay.

Le module de Young est utilisé pour étudier les changements produits dans un matériau lorsqu'une force de traction ou de compression est appliquée à l'extérieur. Il est très utile dans des matières telles que l'ingénierie ou l'architecture.

Le modèle doit son nom au scientifique britannique Thomas Young (1773-1829), qui fut celui qui réalisa des études de matériaux proposant une mesure de la rigidité de différents matériaux.

Quel est le modèle de Young?

Le modèle de Young est une mesure de la rigidité. Dans les matériaux à faible rigidité (rouge), il y a plus de déformation sous une charge d'extension ou de compression. Tigraan / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Dans quelle mesure un objet peut-il être déformé? C'est quelque chose que les ingénieurs veulent souvent savoir. La réponse dépendra des propriétés du matériau et des dimensions dont il dispose.

Par exemple, vous pouvez comparer deux barres en aluminium de dimensions différentes. Chacun a une section transversale et une longueur différentes, et tous deux sont soumis à la même force de traction.

Le comportement attendu sera le suivant:

- Plus l'épaisseur (section transversale) de la barre est grande, moins elle est étirée.

- Plus la longueur initiale est longue, plus l'étirement final est important.

Cela a du sens, car après tout, l'expérience montre qu'essayer de déformer un élastique n'est pas la même chose que d'essayer de le faire avec une tige en acier.

Un paramètre appelé module d'élasticité du matériau est une indication de sa réponse élastique.

Comment est-il calculé?

En tant que médecin, Young a voulu connaître le rôle de l'élasticité des artères dans le bon fonctionnement de la circulation sanguine. De ses expériences, il a conclu la relation empirique suivante:

Il est possible de représenter graphiquement le comportement d'un matériau sous l'application d'une contrainte, comme le montre la figure suivante.

Figure 2. Graphique de la contrainte en fonction de la déformation pour un matériau. Source: self made.

De l'origine au point A

Dans la première section, qui va de l'origine au point A, le graphique est une ligne droite. La loi de Hooke y est valable:

F = kx

Où F est l'amplitude de la force qui ramène le matériau à son état d'origine, x est la déformation qu'il subit et k est une constante qui dépend de l'objet soumis à la contrainte.

Les déformations considérées ici sont faibles et le comportement est parfaitement élastique.

De A à B

De A à B, le matériau se comporte également élastiquement, mais la relation entre contrainte et déformation n'est plus linéaire.

De B ​​à C

Entre les points B et C, le matériau subit une déformation permanente, ne pouvant revenir à son état d'origine.

À partir de C

Si le matériau continue de s'étirer à partir du point C, il finit par se casser.

Mathématiquement, les observations de Young peuvent être résumées comme suit:

Stress ∝ Strain

Où la constante de proportionnalité est précisément le module d'élasticité du matériau:

Contrainte = module d'élasticité x déformation

Il existe de nombreuses façons de déformer les matériaux. Les trois types de contraintes les plus courants auxquels un objet est soumis sont:

- Tension ou étirement.

- Compression.

- Couper ou cisailler.

Un stress auquel les matériaux sont couramment soumis, par exemple dans la construction civile ou les pièces automobiles, est la traction.

Formules

Lorsqu'un objet de longueur L est étiré ou tendu, il est soumis à une traction qui provoque une variation de sa longueur. Un diagramme de cette situation est représenté sur la figure 3.

Cela nécessite qu'une force de grandeur F soit appliquée par unité de surface à ses extrémités, pour provoquer un étirement, de telle sorte que sa nouvelle longueur devienne L + DL.

L'effort fait pour déformer l'objet sera juste cette force par unité de surface, tandis que la déformation subie est ΔL / L.

Figure 3. Un objet soumis à la traction ou à l'étirement subit un allongement. Source: self made.

En notant le module de Young par Y, et selon ce qui précède:

La réponse réside dans le fait que la déformation indique la déformation relative par rapport à la longueur d'origine. Ce n'est pas la même chose qu'une barre de 1 m s'étire ou rétrécit de 1 cm, car une structure de 100 mètres de long est également déformée de 1 cm.

Pour le bon fonctionnement des pièces et des structures, il existe une tolérance concernant les déformations relatives admissibles.

Équation pour calculer la déformation

Si l'équation ci-dessus est analysée comme suit:

- Plus la section transversale est grande, moins il y a de déformation.

- Plus la longueur est longue, plus la déformation est importante.

- Plus le module de Young est élevé, plus la déformation est faible.

Les unités de contrainte correspondent aux newtons / mètre carré (N / m ²). Ce sont aussi les unités de pression, qui dans le Système International portent le nom de Pascal. La déformation ΔL / L, par contre, est sans dimension car elle est le quotient entre deux longueurs.

Les unités du système anglais sont lb / in ² et sont également utilisées très fréquemment. Le facteur de conversion pour passer de l'un à l'autre est: 14,7 lb / in ² = 1,01325 x 10 ⁵ Pa

Cela conduit à ce que le module de Young ait également des unités de pression. Enfin, l'équation ci-dessus peut être exprimée pour résoudre Y:

En science des matériaux, la réponse élastique de ceux-ci à divers efforts est importante pour sélectionner celle qui convient le mieux à chaque application, qu'il s'agisse de fabriquer une aile d'avion ou un roulement automobile. Les caractéristiques du matériau à utiliser sont déterminantes dans la réponse attendue de celui-ci.

Pour choisir le meilleur matériau, il est nécessaire de connaître les contraintes auxquelles une certaine pièce va être soumise; et par conséquent, sélectionnez le matériau qui a les propriétés les plus conformes à la conception.

Par exemple, l'aile d'un avion doit être solide, légère et capable de fléchir. Les matériaux utilisés dans la construction des bâtiments doivent résister dans une large mesure aux mouvements sismiques, mais ils doivent aussi avoir une certaine flexibilité.

Les ingénieurs qui conçoivent des ailes d'avion, ainsi que ceux qui choisissent des matériaux de construction, doivent utiliser des graphiques de contrainte-déformation comme celui illustré à la figure 2.

Les mesures pour déterminer les propriétés élastiques les plus pertinentes d'un matériau peuvent être effectuées dans des laboratoires spécialisés. Ainsi, il existe des tests standardisés auxquels sont soumis les échantillons, auxquels sont appliquées diverses contraintes, et les déformations résultantes sont ensuite mesurées.

Exemples

Comme déjà mentionné ci-dessus, Y ne dépend pas de la taille ou de la forme de l'objet, mais des caractéristiques du matériau.

Autre remarque très importante: pour que l'équation donnée ci-dessus soit applicable, le matériau doit être isotrope, c'est-à-dire que ses propriétés doivent rester inchangées.

Tous les matériaux ne sont pas isotropes: il y en a dont la réponse élastique dépend de certains paramètres directionnels.

La déformation analysée dans les segments précédents n'est qu'une des nombreuses déformations auxquelles un matériau peut être soumis. Par exemple, en termes de contrainte de compression, c'est l'opposé de la contrainte de traction.

Les équations données s'appliquent aux deux cas, et les valeurs de Y sont presque toujours les mêmes (matériaux isotropes).

Une exception notable est le béton ou le ciment, qui résiste mieux à la compression qu'à la traction. Par conséquent, il doit être renforcé lorsqu'une résistance à l'étirement est requise. L'acier est le matériau indiqué pour cela, car il résiste très bien à l'étirement ou à la traction.

Des exemples de structures soumises à des contraintes comprennent la construction de colonnes et d'arcs, éléments de construction classiques dans de nombreuses civilisations anciennes et modernes.

Figure 4. Le Pont Julien, une construction romaine de 3 avant JC dans le sud de la France.

Exercices résolus

Exercice 1

Un fil d'acier de 2,0 m de long dans un instrument de musique a un rayon de 0,03 mm. Lorsque le câble est sous une tension de 90 N: combien sa longueur change-t-elle? Données: le module de Young de l'acier est de 200 x 10 ⁹ N / m ²

Solution

Il est nécessaire de calculer l'aire de la section transversale A = πR ² = π. (0,03 x 10 ^-3 m) ² = 2,83 x 10 ^-9 m ²

Le stress est le stress par unité de surface:

Puisque la corde est sous tension, cela signifie qu'elle s'allonge.

La nouvelle longueur est L = L _o + DL, où L _o est la longueur initiale:

L = 2,32 m

Exercice 2

Une colonne de marbre, dont la section transversale est de 2,0 m ^2, supporte une masse de 25 000 kg. Trouver:

a) L'effort dans la colonne vertébrale.

b) Filtrer.

c) Quelle est la longueur de la colonne si sa hauteur est de 12 m?

Solution

a) L'effort dans la colonne est dû au poids des 25000 kg:

P = mg = 25 000 kg x 9,8 m / s ² = 245 000 N

Par conséquent, l'effort est:

b) La déformation est ΔL / L:

c) ΔL est la variation de la longueur, donnée par:

ΔL = 2,45 x 10 ^-6 x 12 m = 2,94 x10 ^-5 m = 0,0294 mm.

La colonne de marbre ne devrait pas rétrécir de manière significative. Notez que bien que le module de Young soit plus faible dans le marbre que dans l'acier, et que la colonne supporte également une force beaucoup plus grande, sa longueur est quasiment inchangée.

Par contre, dans la corde de l'exemple précédent, la variation est beaucoup plus appréciable, bien que l'acier ait un module d'Young beaucoup plus élevé.

Sa grande section transversale intervient dans la colonne, et donc elle est beaucoup moins déformable.

A propos de Thomas Young

1822 portrait de Thomas Young. Thomas Lawrence / Domaine public

Le module d'élasticité porte le nom de Thomas Young (1773-1829), un scientifique britannique polyvalent qui a grandement contribué à la science dans de nombreux domaines.

En tant que physicien, Young a non seulement étudié la nature ondulatoire de la lumière, révélée par la célèbre expérience à double fente, mais il était également médecin, linguiste et a même aidé à déchiffrer certains des hiéroglyphes égyptiens sur la célèbre pierre de Rosette.

Il était membre de la Royal Society, de l'Académie royale des sciences de Suède, de l'Académie américaine des arts et des sciences ou de l'Académie française des sciences, entre autres nobles institutions scientifiques.

Cependant, il convient de noter que le concept du modèle a été précédemment développé par Leonhar Euler (1707-1873), et que des scientifiques comme Giordano Riccati (1709-1790) avaient déjà mené une expérience qui aurait mis le modèle de Young en pratique..

Références

1. Bauer, W. 2011. Physique pour l'ingénierie et les sciences. Volume 1. Mac Graw Hill. 422-527.
2. Giancoli, D. 2006. Physique: principes et applications. Sixième édition. Prentice Hall. 238–249.