LOIS DE MORGAN - MATEMATIQUES - 2025

Les yeux de Morgan sont des règles d'inférence utilisées dans la logique propositionnelle, qui établissent ce qui résulte du refus d'une disjonction et d'une conjonction de propositions ou de variables propositionnelles. Ces lois ont été définies par le mathématicien Augustus De Morgan.

Les lois de Morgan représentent un outil très utile pour démontrer la validité du raisonnement mathématique. Plus tard, ils ont été généralisés dans le concept d'ensembles par le mathématicien George Boole.

Cette généralisation faite par Boole est tout à fait équivalente aux lois de Morgan initiales, mais elle est développée spécifiquement pour les ensembles plutôt que pour les propositions. Cette généralisation est également connue sous le nom de lois de Morgan.

Revue de la logique propositionnelle

Avant d'examiner ce que sont spécifiquement les lois de Morgan et comment elles sont utilisées, il est utile de se rappeler quelques notions de base de la logique propositionnelle. (Pour plus de détails, voir l'article sur la logique propositionnelle).

Dans le domaine de la logique mathématique (ou propositionnelle), une inférence est une conclusion issue d'un ensemble de prémisses ou d'hypothèses. Cette conclusion, avec les prémisses susmentionnées, donne lieu à ce qu'on appelle le raisonnement mathématique.

Un tel raisonnement doit être démontrable ou nié; c'est-à-dire que toutes les inférences ou conclusions du raisonnement mathématique ne sont pas valides.

Erreur

Une fausse inférence faite à partir de certaines hypothèses supposées vraies est connue comme une erreur. Les sophismes ont la particularité d'être des arguments qui semblent corrects, mais mathématiquement ils ne le sont pas.

La logique propositionnelle est précisément chargée de développer et de fournir des méthodes au moyen desquelles on peut, sans aucune ambiguïté, valider ou réfuter un raisonnement mathématique; c'est-à-dire déduire une conclusion valable à partir des prémisses. Ces méthodes sont connues sous le nom de règles d'inférence, dont les lois de Morgan font partie.

Propositions

Les éléments essentiels de la logique propositionnelle sont les propositions. Les propositions sont des déclarations qui peuvent être considérées comme valides ou non, mais qui ne peuvent être vraies ou fausses en même temps. Il ne devrait y avoir aucune ambiguïté à ce sujet.

Tout comme les nombres peuvent être combinés par les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division, les propositions peuvent être opérées au moyen des connecteurs logiques bien connus: négation (¬, «non»), disjonction (V, «Ou»), conjonction (Ʌ, «et»), conditionnelle (→, «si…, alors…») et biconditionnelle (↔, «si, et seulement si»).

Pour travailler plus généralement, au lieu de considérer des propositions spécifiques, les variables propositionnelles qui représentent n'importe quelle proposition sont considérées, et sont généralement désignées par des lettres minuscules p, q, r, s, etc.

Une formule propositionnelle est une combinaison de variables propositionnelles au moyen de certains des connecteurs logiques. En d'autres termes, c'est une composition de variables propositionnelles. Ils sont généralement désignés par des lettres grecques.

On dit qu'une formule propositionnelle en implique logiquement une autre lorsque la seconde est vraie à chaque fois que la première est vraie. Ceci est indiqué par:

Lorsque l'implication logique entre deux formules propositionnelles est réciproque - c'est-à-dire lorsque l'implication précédente est également valable dans le sens opposé - les formules sont dites logiquement équivalentes, et sont désignées par

L'équivalence logique est une sorte d'égalité entre les formules propositionnelles et permet de remplacer l'une par l'autre si nécessaire.

Lois de Morgan

Les lois de Morgan consistent en deux équivalences logiques entre deux formes propositionnelles, à savoir:

Ces lois permettent de séparer la négation d'une disjonction ou d'une conjonction, en tant que négations des variables impliquées.

La première peut se lire comme suit: la négation d'une disjonction est égale à la conjonction des négations. Et la seconde se lit ainsi: la négation d'une conjonction est la disjonction des négations.

En d'autres termes, nier la disjonction de deux variables propositionnelles équivaut à la conjonction des négations des deux variables. De même, nier la conjonction de deux variables propositionnelles équivaut à la disjonction des négations des deux variables.

Comme mentionné précédemment, la substitution de cette équivalence logique permet de prouver des résultats importants, ainsi que les autres règles d'inférence existantes. Avec ceux-ci, vous pouvez simplifier de nombreuses formules propositionnelles, afin qu'elles soient plus utiles à travailler.

Ce qui suit est un exemple de preuve mathématique utilisant des règles d'inférence, y compris les lois de Morgan. Plus précisément, il est montré que la formule:

C'est équivalent à:

Ce dernier est plus simple à comprendre et à développer.

Manifestation

Il est à noter que la validité des lois de Morgan peut être démontrée mathématiquement. Une façon est de comparer vos tables de vérité.

Ensembles

Les mêmes règles d'inférence et les notions de logique appliquées aux propositions peuvent également être développées en considérant des ensembles. C'est ce que l'on appelle l'algèbre booléenne, d'après le mathématicien George Boole.

Pour différencier les cas, il faut changer la notation et transférer aux ensembles, toutes les notions déjà vues de logique propositionnelle.

Un ensemble est une collection d'objets. Les ensembles sont désignés par les lettres majuscules A, B, C, X,… et les éléments d'un ensemble sont désignés par les lettres minuscules a, b, c, x, etc. Lorsqu'un élément a appartient à un ensemble X, il est noté:

Lorsqu'elle n'appartient pas à X, la notation est:

La façon de représenter des ensembles consiste à placer leurs éléments entre accolades. Par exemple, l'ensemble des nombres naturels est représenté par:

Les ensembles peuvent également être représentés sans écrire une liste explicite de leurs éléments. Ils peuvent être exprimés sous la forme {:}. Le signe deux-points est lu "tel que". À gauche des deux points est placée une variable qui représente les éléments de l'ensemble, et à droite est placée la propriété ou la condition qu'ils satisfont. C'est:

Par exemple, l'ensemble des nombres entiers supérieurs à -4 peut être exprimé comme suit:

Ou de manière équivalente, et plus abrégée, comme:

De même, les expressions suivantes représentent respectivement les ensembles de nombres impairs et pairs:

Union, intersection et compléments d'ensembles

Ensuite, nous verrons les analogues des connecteurs logiques dans le cas des ensembles, qui font partie des opérations de base entre les ensembles.

Union et intersection

L'union et l'intersection des ensembles sont définies, respectivement, comme suit:

Par exemple, considérez les ensembles:

Donc, vous devez:

Complément

Le complément d'un ensemble est formé par les éléments qui n'appartiennent pas audit ensemble (du même type que l'original représente). Le complément d'un ensemble A, est noté:

Par exemple, dans les nombres naturels, le complément de l'ensemble des nombres pairs est celui des nombres impairs, et vice versa.

Pour déterminer le complément d'un ensemble, l'ensemble universel ou principal des éléments considérés doit être clair dès le départ. Par exemple, ce n'est pas la même chose de considérer le complément d'un ensemble sur des nombres naturels que sur des nombres rationnels.

Le tableau suivant montre la relation ou l'analogie qui existe entre les opérations sur les ensembles précédemment définis et les connecteurs de la logique propositionnelle:

Lois de Morgan pour les ensembles

Enfin, les lois de Morgan sur les ensembles sont:

En mots: le complément d'une union est l'intersection des compléments, et le complément d'une intersection est l'union des compléments.

Une preuve mathématique de la première égalité serait la suivante:

La preuve de la seconde est analogue.

Références

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