LOIS DES EXPOSANTS (AVEC EXEMPLES ET EXERCICES RÉSOLUS) - MATEMATIQUES - 2025

Les lois des exposants sont celles qui s'appliquent à ce nombre qui indique combien de fois un nombre de base doit être multiplié par lui-même. Les exposants sont également appelés pouvoirs. L'autonomisation est une opération mathématique formée par une base (a), l'exposant (m) et la puissance (b), qui est le résultat de l'opération.

Les exposants sont généralement utilisés lorsque de très grandes quantités sont utilisées, car ce ne sont que des abréviations qui représentent la multiplication d'un même nombre un certain nombre de fois. Les exposants peuvent être à la fois positifs et négatifs.

Explication des lois des exposants

Comme indiqué précédemment, les exposants sont une forme abrégée qui représente la multiplication des nombres par eux-mêmes plusieurs fois, où l'exposant ne concerne que le nombre de gauche. Par exemple:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

Dans ce cas, le nombre 2 est la base de la puissance, qui sera multipliée 3 fois comme indiqué par l'exposant, situé dans le coin supérieur droit de la base. Il existe différentes manières de lire l'expression: 2 élevé à 3 ou également 2 élevé au cube.

Les exposants indiquent également le nombre de fois où ils peuvent être divisés, et pour différencier cette opération de la multiplication, l'exposant a le signe moins (-) devant lui (il est négatif), ce qui signifie que l'exposant est dans le dénominateur d'un fraction. Par exemple:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 16/01

Cela ne doit pas être confondu avec le cas où la base est négative, car cela dépendra du fait que l'exposant est impair ou pair pour déterminer si la puissance sera positive ou négative. Il faut donc:

- Si l'exposant est pair, la puissance sera positive. Par exemple:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Si l'exposant est impair, la puissance sera négative. Par exemple:

(- 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Il existe un cas particulier dans lequel si l'exposant est égal à 0, la puissance est égale à 1. Il existe également la possibilité que la base soit égale à 0; dans ce cas, selon l'exposant, la puissance sera indéterminée ou non.

Pour effectuer des opérations mathématiques avec des exposants, il est nécessaire de suivre plusieurs règles ou normes qui facilitent la recherche de la solution à ces opérations.

Première loi: puissance de l'exposant égale à 1

Lorsque l'exposant est 1, le résultat sera la même valeur de la base: a ¹ = a.

Exemples

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Deuxième loi: puissance de l'exposant égale à 0

Lorsque l'exposant est 0, si la base est différente de zéro, le résultat sera: a ⁰ = 1.

Exemples

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Troisième loi: exposant négatif

Puisque l'exponte est négative, le résultat sera une fraction, où la puissance sera le dénominateur. Par exemple, si m est positif, alors a ^-m = 1 / a ^m.

Exemples

- 3 ^-1 = 1/3.

- ^6-2 = 1/6 ² = 1/36.

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Quatrième loi: multiplication des pouvoirs à base égale

Pour multiplier les puissances où les bases sont égales et différentes de 0, la base reste et les exposants sont ajoutés: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n}.

Exemples

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Cinquième loi: partage des pouvoirs à base égale

Pour diviser les puissances dans lesquelles les bases sont égales et différentes de 0, la base est conservée et les exposants sont soustraits comme suit: a ^m / a ⁿ = a ^m-n.

Exemples

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9 ¹.

- 6 ^quinze / 6 ^Octobre = 6 ^(15-10) = 6 ⁵.

- 49 ^décembre / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶.

Sixième loi: multiplication des pouvoirs de base différente

Cette loi a le contraire de ce qui est exprimé dans la quatrième; c'est-à-dire que si vous avez des bases différentes mais avec les mêmes exposants, les bases sont multipliées et l'exposant est conservé: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m.

Exemples

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ².

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹.

Une autre façon de représenter cette loi est lorsqu'une multiplication est élevée à une puissance. Ainsi, l'exposant appartiendra à chacun des termes: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m.

Exemples

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴.

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶.

Septième loi: partage des pouvoirs avec une base différente

Si vous avez des bases différentes mais avec les mêmes exposants, divisez les bases et conservez l'exposant: a ^m / b ^m = (a / b) ^m.

Exemples

- 30 ³ / deux ³ = (30/02) ³ = 15 ³.

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5,5 ⁴.

De même, lorsqu'une division est élevée à une puissance, l'exposant appartiendra à chacun des termes: (a / b) ^m = a ^m / b ^m.

Exemples

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ / quatre ⁸ = 2 ⁸.

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ².

Il y a le cas où l'exposant est négatif. Ensuite, pour être positive, la valeur du numérateur est inversée avec celle du dénominateur, comme suit:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴.

Huitième loi: puissance d'une puissance

Lorsque vous avez une puissance qui est élevée à une autre puissance - c'est-à-dire deux exposants en même temps -, la base est maintenue et les exposants sont multipliés: (a ^m) ⁿ = a ^{m * n}.

Exemples

- (8 ³) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶.

- (13 ⁹) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷.

- (238 ¹⁰) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰.

Neuvième loi: exposant fractionnaire

Si la puissance a une fraction comme exposant, cela est résolu en la transformant en une racine n-ième, où le numérateur reste comme un exposant et le dénominateur représente l'indice de la racine:

Exemple

Exercices résolus

Exercice 1

Calculez les opérations entre des puissances qui ont des bases différentes:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ².

Solution

En appliquant les règles des exposants, les bases sont multipliées dans le numérateur et l'exposant est conservé, comme ceci:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Maintenant, puisque nous avons les mêmes bases mais avec des exposants différents, la base est conservée et les exposants sont soustraits:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

Exercice 2

Calculez les opérations entre puissances élevées à une autre puissance:

(3 ²) ³ _* (2 _* 6 ⁵) ^-2 _* (2 ²) ³

Solution

En appliquant les lois, vous devez:

(3 ²) ³ _* (2 _* 6 ⁵) ^-2 _* (2 ²) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46 656

Références

1. Aponte, G. (1998). Fondamentaux des mathématiques de base. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Mathématiques appliquées à la vie quotidienne.
3. Jiménez, JR (2009). Math 1 SEP.
4. Max Peters, WL (1972). Algèbre et trigonométrie.
5. Rees, PK (1986). Reverte.