LOIS DE KEPLER: EXPLICATION, EXERCICES, EXPÉRIENCE - PHYSIQUE - 2025

Les lois du mouvement planétaire de Kepler ont été élaborées par l'astronome allemand Johannes Kepler (1571-1630). Kepler les a déduits à partir des travaux de son professeur l'astronome danois Tycho Brahe (1546-1601).

Brahe a soigneusement compilé des données sur les mouvements planétaires sur plus de 20 ans, avec une précision et une exactitude surprenantes, considérant que le télescope n'avait pas encore été inventé à l'époque. La validité de vos données reste valable même aujourd'hui.

Figure 1. Les orbites des planètes selon les lois de Kepler. Source: Wikimedia Commons. Willow / CC BY (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)

Les 3 lois de Kepler

Les lois de Kepler stipulent:

-Première loi: toutes les planètes décrivent des orbites elliptiques avec le Soleil dans l'un des foyers.

Cela signifie que le rapport T ² / r ³ est le même pour toutes les planètes, ce qui permet de calculer le rayon orbital, si la période orbitale est connue.

Lorsque T est exprimé en années et r en unités astronomiques AU *, la constante de proportionnalité est k = 1:

* Une unité astronomique équivaut à 150 millions de kilomètres, soit la distance moyenne entre la Terre et le Soleil. La période orbitale de la Terre est de 1 an.

La loi de la gravitation universelle et la troisième loi de Kepler

La loi universelle de la gravitation stipule que la grandeur de la force d'attraction gravitationnelle entre deux objets de masses M et m respectivement, dont les centres sont séparés par une distance r, est donnée par:

G est la constante universelle de gravitation et sa valeur est G = 6,674 x 10 ^-11 Nm ² / kg ².

Or, les orbites des planètes sont elliptiques avec une très petite excentricité.

Cela signifie que l'orbite n'est pas très éloignée d'une circonférence, sauf dans certains cas comme la planète naine Pluton. Si nous approchons les orbites de la forme circulaire, l'accélération du mouvement de la planète est:

Puisque F = ma, on a:

Ici v est la vitesse linéaire de la planète autour du Soleil, supposée statique et de masse M, tandis que celle de la planète est m. Ensuite:

Ceci explique que les planètes les plus éloignées du Soleil ont une vitesse orbitale plus faible, puisque cela dépend de 1 / √r.

Puisque la distance parcourue par la planète est approximativement la longueur de la circonférence: L = 2πr et cela prend un temps égal à T, la période orbitale, on obtient:

L'égalisation des deux expressions pour v donne une expression valide pour T ², le carré de la période orbitale:

Et c'est précisément la troisième loi de Kepler, puisque dans cette expression les parenthèses 4π ² / GM sont constantes, donc T ² est proportionnel à la distance r au cube.

L'équation définitive de la période orbitale est obtenue en prenant la racine carrée:

Figure 3. Aphélie et périhélie. Source: Wikimedia Commons. Pearson Scott Foresman / Domaine public

Par conséquent, nous substituons r à a dans la troisième loi de Kepler, ce qui entraîne Halley dans:

Solution b

a = ½ (périhélie + aphélie)

Expérience

L'analyse du mouvement des planètes nécessite des semaines, des mois et même des années d'observation et d'enregistrement minutieux. Mais en laboratoire, une expérience très simple peut être menée à une échelle très simple pour prouver que la loi de Kepler des aires égales est valable.

Cela nécessite un système physique dans lequel la force qui régit le mouvement est centrale, une condition suffisante pour que la loi des aires soit remplie. Un tel système consiste en une masse liée à une longue corde, l'autre extrémité du fil étant fixée à un support.

La masse est déplacée d'un petit angle par rapport à sa position d'équilibre et reçoit une légère impulsion, de sorte qu'elle exécute un mouvement ovale (presque elliptique) dans le plan horizontal, comme s'il s'agissait d'une planète autour du Soleil.

Sur la courbe décrite par le pendule, on peut prouver qu'il balaie des aires égales en temps égaux, si:

-On considère des rayons vectoriels allant du centre d'attraction (point d'équilibre initial) à la position de la masse.

-Et on balaye entre deux instants consécutifs de durée égale, dans deux zones différentes du mouvement.

Plus la corde du pendule est longue et plus l'angle par rapport à la verticale est petit, la force de rappel nette sera plus horizontale et la simulation ressemble au cas d'un mouvement avec une force centrale dans un plan.

Ensuite, l'ovale décrit s'approche d'une ellipse, telle que celle que les planètes voyagent.

matériaux

-Fil extensible

-1 masse ou boule métallique peinte en blanc qui fait office de balancier

-Règle

-Convoyeur

-Appareil photo avec disque stroboscopique automatique

-Les soutiens

-Deux sources d'éclairage

-Une feuille de papier ou de carton noir

Processus

L'assemblage de la figure est nécessaire pour prendre des photos de plusieurs éclairs du pendule alors qu'il suit son chemin. Pour cela, vous devez placer la caméra juste au-dessus du pendule et le disque stroboscopique automatique devant l'objectif.

Figure 4. Assemblage du pendule pour vérifier qu'il balaie des surfaces égales en des temps égaux. Source: Guide du laboratoire PSSC.

De cette manière, des images sont obtenues à intervalles de temps réguliers du pendule, par exemple toutes les 0,1 ou toutes les 0,2 secondes, ce qui nous permet de connaître le temps qu'il a fallu pour passer d'un point à un autre.

Vous devez également éclairer correctement la masse du pendule, en plaçant les lumières des deux côtés. La lentille doit être peinte en blanc pour améliorer le contraste sur le fond, qui consiste en un papier noir étalé sur le sol.

Vous devez maintenant vérifier que le pendule balaie des surfaces égales en des temps égaux. Pour ce faire, un intervalle de temps est choisi et les points occupés par le pendule dans cet intervalle sont marqués sur le papier.

Une ligne est tracée sur l'image du centre de l'ovale à ces points et ainsi nous aurons la première des zones balayées par le pendule, qui est approximativement un secteur elliptique comme celui montré ci-dessous:

Figure 5. Aire d'un secteur elliptique. Source: F. Zapata.

Calcul de l'aire de la section elliptique

Avec le rapporteur, les angles θ _o et θ ₁ sont mesurés, et cette formule est utilisée pour trouver S, l'aire du secteur elliptique:

Avec F (θ) donné par:

Notez que a et b sont respectivement les demi-axes majeurs et mineurs. Le lecteur n'a qu'à se soucier de mesurer soigneusement les demi-axes et les angles, car il existe des calculatrices en ligne pour évaluer facilement cette expression.

Cependant, si vous insistez pour faire le calcul à la main, rappelez-vous que l'angle θ est mesuré en degrés, mais lors de la saisie des données dans la calculatrice, les valeurs doivent être exprimées en radians.

Ensuite, vous devez marquer une autre paire de points dans lesquels le pendule a inversé le même intervalle de temps, et dessiner la zone correspondante, en calculant sa valeur avec la même procédure.

Vérification de la loi des aires égales

Enfin, il reste à vérifier que la loi des aires est respectée, c'est-à-dire que les aires égales sont balayées en des temps égaux.

Les résultats sont-ils un peu différents de ce qui était attendu? Il faut toujours garder à l'esprit que toutes les mesures sont accompagnées de leur erreur expérimentale respective.

Références

1. Calculatrice en ligne Keisan. Surface d'un calculateur de secteur elliptique. Récupéré de: keisan.casio.com.
2. Openstax. Loi de Kepler du mouvement planétaire. Récupéré de: openstax.org.
3. PSSC. Physique de laboratoire. Éditorial Reverté. Récupéré de: books.google.co.
4. Palen, S. 2002. Astronomie. Série Schaum. McGraw Hill.
5. Pérez R. Système simple avec force centrale. Récupéré de: francesphysics.blogspot.com
6. Stern, les trois lois du mouvement planétaire de D. Kepler. Récupéré de: phy6.org.