LOGIQUE MATHÉMATIQUE: ORIGINE, CE QU'ELLE ÉTUDIE, TYPES - MATEMATIQUES - 2024

La logique mathématique ou logique symbolique est un langage mathématique qui recouvre les outils par lesquels on peut affirmer ou nier un raisonnement mathématique.

Il est bien connu qu'il n'y a pas d'ambiguïtés en mathématiques. Étant donné un argument mathématique, il est soit valide, soit il ne l'est tout simplement pas. Cela ne peut pas être faux et vrai à la fois.

Un aspect particulier des mathématiques est qu'elles ont un langage formel et rigoureux par lequel la validité d'un argument peut être déterminée. Qu'est-ce qui rend irréfutable un certain raisonnement ou une preuve mathématique? C'est ça la logique mathématique.

Ainsi, la logique est la discipline des mathématiques qui est chargée d'étudier le raisonnement et les preuves mathématiques, et de fournir les outils pour pouvoir déduire une conclusion correcte à partir d'énoncés ou de propositions précédents.

Pour ce faire, on utilise des axiomes et d'autres aspects mathématiques qui seront développés ultérieurement.

Origine et histoire

Les dates exactes concernant de nombreux aspects de la logique mathématique sont incertaines. Cependant, la plupart des bibliographies sur le sujet remontent à la Grèce antique.

Aristote

Le début du traitement rigoureux de la logique est attribué, en partie, à Aristote, qui a écrit un ensemble d'ouvrages de logique, qui ont ensuite été compilés et développés par différents philosophes et scientifiques, jusqu'au Moyen Âge. Cela pourrait être considéré comme «l'ancienne logique».

Plus tard, dans ce qu'on appelle l'ère contemporaine, Leibniz, animé par un profond désir d'établir un langage universel pour raisonner mathématiquement, et d'autres mathématiciens tels que Gottlob Frege et Giuseppe Peano, ont notamment influencé le développement de la logique mathématique avec de grandes contributions., parmi eux, les Peano Axioms, qui formulent les propriétés indispensables des nombres naturels.

Les mathématiciens George Boole et Georg Cantor ont également eu une grande influence à cette époque, avec des contributions importantes dans la théorie des ensembles et les tables de vérité, mettant en évidence, entre autres aspects, l'algèbre booléenne (par George Boole) et l'axiome du choix (par George Cantor).

Il y a aussi Augustus De Morgan avec les lois de Morgan bien connues, qui envisagent les négations, les conjonctions, les disjonctions et les conditionnelles entre propositions, clés du développement de la logique symbolique, et Jhon Venn avec les fameux diagrammes de Venn.

Au XXe siècle, environ entre 1910 et 1913, Bertrand Russell et Alfred North Whitehead se démarquent par la publication de Principia Mathematica, un ensemble de livres qui recueille, développe et postule une série d'axiomes et de résultats de la logique.

Qu'étudie la logique mathématique?

Propositions

La logique mathématique commence par l'étude des propositions. Une proposition est une affirmation qui peut être dite sans aucune ambiguïté si elle est vraie ou non. Voici des exemples de propositions:

• 2 + 4 = 6.
• 5 ² = 35.
• En 1930, il y eut un tremblement de terre en Europe.

La première est une vraie déclaration et la seconde est une fausse déclaration. Le troisième, même si la personne qui le lit ne sait pas si c'est vrai ou immédiatement, est un énoncé qui peut être testé et déterminé si cela s'est vraiment produit ou non.

Voici des exemples d'expressions qui ne sont pas des propositions:

• Elle est blonde.
• 2x = 6.
• Allons jouer!
• Tu aimes le cinéma?

Dans la première proposition, il n'est pas précisé qui «elle» est, donc rien ne peut être affirmé. Dans la seconde proposition, ce que "x" représente n'a pas été spécifié. Si au contraire on disait que 2x = 6 pour un certain nombre naturel x, dans ce cas cela correspondrait à une proposition, en fait vraie, puisque pour x = 3 elle est remplie.

Les deux derniers énoncés ne correspondent pas à une proposition, car il n'y a aucun moyen de les nier ou de les affirmer.

Deux ou plusieurs propositions peuvent être combinées (ou connectées) à l'aide de connecteurs (ou connecteurs) logiques bien connus. Ceux-ci sont:

• Déni: "Il ne pleut pas."
• Disjonction: "Luisa a acheté un sac blanc ou gris."
• Conjonction: "4 ² = 16 et 2 × 5 = 10".
• Conditionnel: "S'il pleut, je ne vais pas au gymnase cet après-midi."
• Biconditionnel: "Je vais au gym cet après-midi si, et seulement si, il ne pleut pas."

Une proposition qui n'a aucun des connecteurs précédents est appelée une proposition simple (ou atomique). Par exemple, "2 est inférieur à 4" est une proposition simple. Les propositions qui ont un certain connectif sont appelées propositions composées, telles que «1 + 3 = 4 et 4 est un nombre pair».

Les déclarations faites au moyen de propositions sont généralement longues, il est donc fastidieux de toujours les écrire comme vu jusqu'ici. Pour cette raison, un langage symbolique est utilisé. Les propositions sont généralement représentées par des lettres majuscules telles que P, Q, R, S, etc. Et les connecteurs symboliques comme suit:

De sorte que

L' inverse d'une proposition conditionnelle

est la proposition

Et la contre-réciproque (ou contrapositive) d'une proposition

est la proposition

Tables de vérité

Un autre concept important en logique est celui des tables de vérité. Les valeurs de vérité d'une proposition sont les deux possibilités pour une proposition: true (qui sera notée V et on dira que sa valeur de vérité est V) ou false (qui sera notée F et on dira que sa valeur est vraiment F).

La valeur de vérité d'une proposition composée dépend exclusivement des valeurs de vérité des propositions simples qui y apparaissent.

Pour travailler plus généralement, nous ne considérerons pas des propositions spécifiques, mais des variables propositionnelles p, q, r, s, etc., qui représenteront toutes les propositions.

Avec ces variables et les connecteurs logiques, les formules propositionnelles bien connues sont formées, tout comme les propositions composées sont construites.

Si chacune des variables qui apparaissent dans une formule propositionnelle est remplacée par une proposition, une proposition composée est obtenue.

Voici les tables de vérité pour les connecteurs logiques:

Il existe des formules propositionnelles qui ne reçoivent que la valeur V dans leur table de vérité, c'est-à-dire que la dernière colonne de leur table de vérité n'a que la valeur V. Ces types de formules sont appelées tautologies. Par exemple:

Ce qui suit est la table de vérité de la formule

On dit qu'une formule α implique logiquement une autre formule β, si α est vrai chaque fois que β est vrai. Autrement dit, dans la table de vérité de α et β, les lignes où α a un V, β a également un V. Nous ne nous intéressons qu'aux lignes dans lesquelles α a la valeur V. La notation pour l'implication logique est la suivante:

Le tableau suivant résume les propriétés de l'implication logique:

On dit que deux formules propositionnelles sont logiquement équivalentes si leurs tables de vérité sont identiques. La notation suivante est utilisée pour exprimer l'équivalence logique:

Les tableaux suivants résument les propriétés de l'équivalence logique:

Types de logique mathématique

Il existe différents types de logiques, surtout si l'on prend en compte la logique pragmatique ou informelle qui pointe vers la philosophie, entre autres domaines.

En ce qui concerne les mathématiques, les types de logique pourraient être résumés comme suit:

• Logique formelle ou aristotélicienne (logique ancienne).
• Logique propositionnelle: elle est responsable de l'étude de tout ce qui touche à la validité des arguments et des propositions en utilisant le langage formel et symbolique.
• Logique symbolique: centrée sur l'étude des ensembles et de leurs propriétés, également avec un langage formel et symbolique, et est profondément liée à la logique propositionnelle.
• Logique combinatoire: l'une des plus récentes, implique des résultats qui peuvent être développés à l'aide d'algorithmes.
• Programmation logique: utilisée dans les différents packages et langages de programmation.

Domaines

Parmi les domaines qui utilisent la logique mathématique de manière indispensable dans le développement de leur raisonnement et de leurs arguments, se distinguent la philosophie, la théorie des ensembles, la théorie des nombres, les mathématiques constructives algébriques et les langages de programmation.

Références

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2. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M. et Soto, A. (1998). Introduction à la théorie des nombres. EUNED.
3. Castañeda, S. (2016). Cours de base de la théorie des nombres. Université du Nord.
4. Cofré, A. et Tapia, L. (1995). Comment développer un raisonnement logique mathématique. Maison d'édition universitaire.
5. Saragosse, AC (sf). La théorie du nombre Éditorial Vision Libros.