INDUCTION MAGNÉTIQUE: FORMULES, MODE DE CALCUL ET EXEMPLES - PHYSIQUE - 2025

L' induction magnétique ou la densité de flux magnétique est modifiée dans l'environnement en raison de la présence de courants électriques. Ils modifient la nature de l'espace qui les entoure, créant un champ vectoriel.

L'induction magnétique vectorielle, densité de flux magnétique ou simplement champ magnétique B, a trois caractéristiques distinctives: une intensité exprimée par une valeur numérique, une direction et aussi un sens donné en chaque point de l'espace. Il est mis en évidence en gras pour le distinguer des quantités purement numériques ou scalaires.

Règle du pouce droit pour déterminer la direction et le sens du vecteur d'induction magnétique. Source: Jfmelero

La règle du pouce droit est utilisée pour trouver la direction et la direction du champ magnétique causé par un fil porteur de courant, comme illustré dans la figure ci-dessus.

Le pouce de la main droite doit pointer dans la direction du courant. Ensuite, la rotation des quatre doigts restants indique la forme de B, qui sur la figure est représentée par les cercles rouges concentriques.

Dans un tel cas, la direction de B est tangentielle à la circonférence concentrique avec le fil et la direction est dans le sens antihoraire.

L'induction magnétique B dans le système international est mesurée en Tesla (T), mais il est plus fréquent de la mesurer dans une autre unité appelée Gauss (G). Les deux unités ont été nommées respectivement en l'honneur de Nikola Tesla (1856-1943) et Carl Friedrich Gauss (1777-1855) pour leurs contributions extraordinaires à la science de l'électricité et du magnétisme.

Quelles sont les propriétés de l'induction magnétique ou de la densité de flux magnétique?

Une boussole placée près d'un fil sous tension s'alignera toujours avec B. Le physicien danois Hans Christian Oersted (1777-1851) a été le premier à remarquer ce phénomène au début du XIXe siècle.

Et lorsque le courant s'arrête, la boussole pointe à nouveau vers le nord géographique, comme toujours. En changeant soigneusement la position de la boussole, vous obtenez une carte de la forme du champ magnétique.

Cette carte a toujours la forme de cercles concentriques au fil, comme décrit au début. De cette façon, B.

Même si le fil n'est pas droit, le vecteur B formera des cercles concentriques autour de lui. Pour déterminer la forme du champ, imaginez simplement de très petits segments de fil, si petits qu'ils paraissent rectilignes et entourés de cercles concentriques.

Lignes de champ magnétique produites par une boucle de fil conductrice de courant. Source: Pixabay.com

Ceci indique une propriété importante des lignes de champ magnétique B: elles n'ont ni début ni fin, ce sont toujours des courbes fermées.

Loi de Biot-Savart

Le 19e siècle a marqué le début de l'ère de l'électricité et du magnétisme dans la science. 1820 près des physiciens français Jean - Marie Biot (1774-1862) et Felix Savart (1791-1841) a découvert la loi qui porte son nom et qui calcule le vecteur B.

Ils ont fait les observations suivantes sur la contribution au champ magnétique produit par un segment de fil de longueur différentielle dl transportant un courant électrique I:

• La magnitude de B diminue avec l'inverse du carré de la distance au fil (cela a du sens: loin du fil, l'intensité de B doit être inférieure à celle des points voisins).
• La magnitude de B est proportionnelle à l'intensité du courant I qui traverse le fil.
• La direction de B est tangentielle au cercle de rayon r centré sur le fil et la direction de B est donnée, comme nous l'avons dit, par la règle du pouce droit.

Le produit croisé ou produit croisé est l'outil mathématique approprié pour exprimer le dernier point. Pour établir un produit vectoriel, deux vecteurs sont nécessaires, qui sont définis comme suit:

• d l est le vecteur dont la grandeur est la longueur du segment différentiel dl
• r est le vecteur qui va du fil au point où vous voulez trouver le champ

Formules

Tout cela peut être combiné dans une expression mathématique:

La constante de proportionnalité nécessaire pour établir l'égalité est la perméabilité magnétique de l'espace libre μ _o = 4π.10 ^-7 Tm / A

Cette expression est la loi de Biot et Savart, qui permet de calculer le champ magnétique d'un segment courant.

Un tel segment doit à son tour faire partie d'un circuit plus grand et plus fermé: une distribution de courant.

La condition que le circuit est fermé est nécessaire pour qu'un courant électrique circule. Le courant électrique ne peut pas circuler dans les circuits ouverts.

Enfin, pour trouver le champ magnétique total de ladite distribution de courant, toutes les contributions de chaque segment différentiel d l sont additionnées. Cela équivaut à intégrer sur toute la distribution:

Pour appliquer la loi de Biot-Savart et calculer le vecteur d'induction magnétique, il est nécessaire de considérer quelques points très importants:

• Le produit croisé entre deux vecteurs aboutit toujours à un autre vecteur.

• 

• Il convient de trouver le produit vectoriel avant de procéder à la résolution de l'intégrale, puis l'intégrale de chacun des composants obtenus séparément est résolue.
• Il est nécessaire de dessiner une image de la situation et d'établir un système de coordonnées approprié.
• Chaque fois que l'existence d'une symétrie est observée, elle doit être utilisée pour gagner du temps de calcul.
• Lorsqu'il y a des triangles, le théorème de Pythagore et le théorème du cosinus sont utiles pour établir la relation géométrique entre les variables.

Comment est-il calculé?

Avec un exemple pratique du calcul de B pour un fil droit, ces recommandations s'appliquent.

Exemple

Calculez le vecteur de champ magnétique qu'un très long fil rectiligne produit en un point P dans l'espace, selon la figure ci-contre.

Géométrie nécessaire pour calculer le champ magnétique au point P, d'un fil de courant infiniment long. Source: self made.

À partir de la figure, vous devez:

• Le fil est dirigé dans une direction verticale, le courant I circulant vers le haut. Cette direction est + y dans le système de coordonnées, dont l'origine est au point O.

• 

• Dans ce cas, selon la règle du pouce droit, B au point P est dirigé vers l'intérieur du papier, il est donc désigné par un petit cercle et un "x" sur la figure. Cette adresse sera prise comme -z.
• Le triangle rectangle dont les jambes sont y et R, relie les deux variables selon le théorème de Pythagore: r ² = R ² + y ²

Tout cela est substitué dans l'intégrale. Le produit croisé ou croix est indiqué par sa grandeur plus sa direction et son sens:

L'intégrale proposée se trouve dans un tableau d'intégrales ou elle est résolue par une substitution trigonométrique appropriée (le lecteur peut vérifier le résultat en utilisant y = Rtg θ):

Le résultat est en accord avec ce qui était attendu: l'amplitude du champ diminue avec la distance R et augmente proportionnellement avec l'intensité du courant I.

Bien qu'un fil infiniment long soit une idéalisation, l'expression obtenue est une très bonne approximation pour le champ d'un fil long.

Avec la loi de Biot et Savart, il est possible de trouver le champ magnétique d'autres distributions hautement symétriques, telles qu'une boucle circulaire qui transporte du courant ou des fils pliés combinant des segments rectilignes et curvilignes.

Bien entendu, pour résoudre analytiquement l'intégrale proposée, le problème doit avoir un haut degré de symétrie. Sinon, l'alternative est de résoudre l'intégrale numériquement.

Références

1. Serway, R., Jewett, J. (2008). Physique pour la science et l'ingénierie. 2ieme volume. Mexique. Éditeurs d'apprentissage Cengage. 367-372.