HOMOTHÉCIE: PROPRIÉTÉS, TYPES ET EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

La dilatation est un changement géométrique dans le plan dont, à partir d'un point fixe appelé centre (O), les distances sont multipliées par un facteur commun. De cette manière, chaque point P correspond à un autre point P 'produit de la transformation, et ceux-ci sont alignés avec le point O.

Ainsi, l'homothétie concerne une correspondance entre deux figures géométriques, où les points transformés sont appelés homothétiques, et ceux-ci sont alignés avec un point fixe et avec des segments parallèles l'un à l'autre.

Homothécie

L'homothétie est une transformation qui n'a pas d'image congruente, car à partir d'une figure, une ou plusieurs figures de taille plus ou moins grande que la figure originale seront obtenues; c'est-à-dire que l'homothétie transforme un polygone en un autre similaire.

Pour que l'homothétie soit remplie, point à point et ligne à ligne doivent correspondre, de sorte que les paires de points homologues soient alignées avec un troisième point fixe, qui est le centre de l'homothétie.

De même, les paires de lignes qui les joignent doivent être parallèles. La relation entre ces segments est une constante appelée rapport d'homothétie (k); de telle manière que l'homothétie peut être définie comme:

Pour réaliser ce type de transformation, on commence par choisir un point arbitraire, qui sera le centre de l'homothétie.

À partir de ce point, des segments de ligne sont dessinés pour chaque sommet de la figure à transformer. L'échelle dans laquelle se fait la reproduction de la nouvelle figure est donnée par le rapport d'homothétie (k).

Propriétés

L'une des principales propriétés de l'homothétie est que, par la raison homothétique (k), toutes les figures homothétiques sont similaires. Parmi les autres propriétés remarquables sont les suivantes:

- Le centre de l'homothécie (O) est le seul point double et celui-ci se transforme en lui-même; c'est-à-dire que cela ne varie pas.

- Les lignes qui passent par le centre se transforment en elles-mêmes (elles sont doubles), mais les points qui le composent ne sont pas doubles.

- Les lignes qui ne passent pas par le centre sont transformées en lignes parallèles; de cette manière, les angles d'homothétie restent les mêmes.

- L'image d'un segment par une homothétie de centre O et de rapport k, est un segment parallèle à celui-ci et a k fois sa longueur. Par exemple, comme on peut le voir sur l'image suivante, un segment AB par homothétie se traduira par un autre segment A'B ', tel que AB sera parallèle à A'B' et le k sera:

- Les angles homothétiques sont congruents; c'est-à-dire qu'ils ont la même mesure. Par conséquent, l'image d'un angle est un angle qui a la même amplitude.

Par contre, nous avons que l'homothétie varie en fonction de la valeur de son rapport (k), et les cas suivants peuvent se produire:

- Si la constante k = 1, tous les points sont fixes car ils se transforment. Ainsi, la figure homothétique coïncide avec celle d'origine et la transformation sera appelée fonction d'identité.

- Si k ≠ 1, le seul point fixe sera le centre de l'homothétique (O).

- Si k = -1, l'homothétie devient une symétrie centrale (C); c'est-à-dire se produire une rotation autour de C, à un angle de 180 ^ou.

- Si k> 1, la taille de la figure transformée sera plus grande que la taille de l'original.

- Si 0 <k <1, la taille de la figure transformée sera plus petite que l'original.

- Si -1 <k <0, la taille de la figure transformée sera plus petite et elle sera tournée par rapport à l'original.

- Si k <-1, la taille de la figure transformée sera plus grande et elle sera tournée par rapport à l'original.

Les types

L'homothétie peut également être classée en deux types, selon la valeur de son rapport (k):

Homothétie directe

Cela se produit si la constante k> 0; c'est-à-dire que les points homothétiques sont du même côté par rapport au centre:

Le facteur de proportionnalité ou le rapport de similitude entre les chiffres homothétiques directs sera toujours positif.

Homothétie inversée

Cela se produit si la constante k <0; c'est-à-dire que les points initiaux et leurs homothèses sont situés aux extrémités opposées par rapport au centre de l'homothétique mais alignés sur celui-ci. Le centre sera entre les deux chiffres:

Le facteur de proportionnalité ou le rapport de similitude entre les figures homothétiques inverses sera toujours négatif.

Composition

Lorsque plusieurs mouvements sont successivement effectués jusqu'à l'obtention d'un chiffre égal à l'original, une composition de mouvements se produit. La composition de plusieurs mouvements est aussi un mouvement.

La composition entre deux homothécies aboutit à une nouvelle homothétie; c'est-à-dire qu'il y a un produit d'homothéties dans lequel le centre sera aligné avec le centre des deux transformations d'origine, et le rapport (k) est le produit des deux rapports.

Ainsi, dans la composition de deux homothéties H ₁ (O ₁, k ₁) et H ₂ (O ₂, k ₂), la multiplication de leurs rapports: k ₁ xk ₂ = 1 se traduira par une homothétie de rapport k ₃ = k ₁ xk ₂. Le centre de cette nouvelle homothétie (O ₃) sera situé sur la ligne O ₁ O ₂.

L'homothécie correspond à un changement plat et irréversible; Si deux homothéties sont appliquées qui ont le même centre et le même rapport mais avec un signe différent, la figure originale sera obtenue.

Exemples

Premier exemple

Appliquer une homothétie au polygone de centre (O) donné, situé à 5 cm du point A et dont le rapport est k = 0,7.

Solution

Tout point est choisi comme centre de l'homothétie, et à partir de ce point, les rayons sont tirés à travers les sommets de la figure:

La distance du centre (O) au point A est OA = 5; Avec cela, la distance de l'un des points homothétiques (OA ') peut être déterminée, sachant également que k = 0,7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Le processus peut être effectué pour chaque sommet, ou le polygone homothétique peut également être dessiné en se souvenant que les deux polygones ont des côtés parallèles:

Enfin, la transformation ressemble à ceci:

Deuxième exemple

Appliquer une homothétie au polygone donné de centre (O), situé à 8,5 cm du point C et dont le rapport y k = -2.

Solution

La distance du centre (O) au point C est OC = 8,5; Avec ces données, il est possible de déterminer la distance d'un des points homothétiques (OC '), sachant également que k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Après avoir tracé les segments des sommets du polygone transformé, nous avons que les points initiaux et leur homothétique sont situés aux extrémités opposées par rapport au centre:

Références

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Dessin technique: carnet d'activités.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Affinité, homologie et homothécie.
3. Baer, ​​R. (2012). Algèbre linéaire et géométrie projective. Courier Corporation.
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