- Quelles sont les dimensions?
- Espace tridimensionnel
- La quatrième dimension et le temps
- Les coordonnées d'un hypercube
- Dépliage d'un hypercube
- Références
Un hypercube est un cube de dimension n. Le cas particulier de l'hypercube à quatre dimensions est appelé un tesseract. Un hypercube ou n-cube se compose de segments droits, tous de même longueur, orthogonaux à leurs sommets.
Les êtres humains perçoivent un espace tridimensionnel: largeur, hauteur et profondeur, mais il ne nous est pas possible de visualiser un hypercube avec une dimension supérieure à 3.
Figure 1. Un 0-cube est un point, si ce point s'étend dans une direction une distance a forme un 1-cube, si ce 1-cube s'étend sur une distance a dans la direction orthogonale, nous avons un 2-cube (de côtés x à a), si le 2-cube s'étend sur une distance a dans la direction orthogonale, nous avons un 3-cube. Source: F. Zapata.
Tout au plus nous pouvons en faire des projections dans un espace tridimensionnel pour le représenter, de la même manière que nous projetons un cube sur un plan pour le représenter.
Dans la dimension 0, le seul chiffre est le point, donc un cube 0 est un point. Un 1-cube est un segment droit, qui est formé en déplaçant un point dans une direction sur une distance a.
Pour sa part, un 2-cube est un carré. Il est construit en décalant le 1-cube (le segment de longueur a) dans la direction y, qui est orthogonale à la direction x, d'une distance a.
Le 3-cube est le cube commun. Il est construit à partir du carré en le déplaçant dans la troisième direction (z), qui est orthogonale aux directions x et y, d'une distance a.
Figure 2. Un 4-cube (tesseract) est l'extension d'un 3-cube dans la direction orthogonale aux trois directions spatiales conventionnelles. Source: F. Zapata.
Le 4-cube est le tesseract, qui est construit à partir d'un 3-cube le déplaçant orthogonalement, d'une distance a, vers une quatrième dimension (ou quatrième direction), que nous ne pouvons pas percevoir.
Un tesseract a tous ses angles droits, il a 16 sommets et toutes ses arêtes (18 en tout) ont la même longueur a.
Si la longueur des arêtes d'un n-cube ou d'un hypercube de dimension n est 1, alors c'est un hypercube unitaire, dans lequel la diagonale la plus longue mesure √n.
Figure 3. Un n-cube est obtenu à partir d'un (n-1) -cube le prolongeant orthogonalement dans la dimension suivante. Source: wikimedia commons.
Quelles sont les dimensions?
Les cotes sont les degrés de liberté ou les directions possibles dans lesquelles un objet peut se déplacer.
En dimension 0, il n'y a pas de possibilité de translation et le seul objet géométrique possible est le point.
Une dimension dans l'espace euclidien est représentée par une ligne ou un axe orienté qui définit cette dimension, appelé axe X. La séparation entre deux points A et B est la distance euclidienne:
d = √.
En deux dimensions, l'espace est représenté par deux lignes orientées orthogonales l'une par rapport à l'autre, appelées axe X et axe Y.
La position de tout point dans cet espace bidimensionnel est donnée par sa paire de coordonnées cartésiennes (x, y) et la distance entre deux points A et B sera:
d = √
Parce que c'est un espace où la géométrie d'Euclide se réalise.
Espace tridimensionnel
L'espace tridimensionnel est l'espace dans lequel nous nous déplaçons. Il a trois directions: largeur, hauteur et profondeur.
Dans une pièce vide les coins perpendiculaires donnent ces trois directions et à chacune on peut associer un axe: X, Y, Z.
Cet espace est également euclidien et la distance entre deux points A et B est calculée comme suit:
d = √
Les êtres humains ne peuvent pas percevoir plus de trois dimensions spatiales (ou euclidiennes).
Cependant, d'un point de vue strictement mathématique, il est possible de définir un espace euclidien à n dimensions.
Dans cet espace, un point a des coordonnées: (x1, x2, x3,….., xn) et la distance entre deux points est:
d = √.
La quatrième dimension et le temps
En effet, dans la théorie de la relativité, le temps est traité comme une dimension supplémentaire et une coordonnée lui est associée.
Mais il faut préciser que cette coordonnée associée au temps est un nombre imaginaire. Par conséquent, la séparation de deux points ou événements dans l'espace-temps n'est pas euclidienne, mais suit plutôt la métrique de Lorentz.
Un hypercube à quatre dimensions (le tesseract) ne vit pas dans l'espace-temps, il appartient à un hyper-espace euclidien à quatre dimensions.
Figure 4. Projection 3D d'un hypercube à quatre dimensions en rotation simple autour d'un plan qui divise la figure de l'avant vers la gauche, de l'arrière vers la droite et de haut en bas. Source: Wikimedia Commons.
Les coordonnées d'un hypercube
Les coordonnées des sommets d'un n-cube centré à l'origine sont obtenues en faisant toutes les permutations possibles de l'expression suivante:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
Où a est la longueur du bord.
-Le volume d'un n-cube d'arête a est: (a / 2) n (2 n) = a n.
-La diagonale la plus longue est la distance entre les sommets opposés.
-Les sommets opposés d'un carré sont les suivants: (-1, -1) et (+1, +1).
-Et dans un cube: (-1, -1, -1) et (+1, +1, +1).
-La diagonale la plus longue d'un n-cube mesure:
d = √ = √ = 2√n
Dans ce cas, le côté a été supposé être a = 2. Pour un n-cube de côté à n'importe quel ce sera:
d = a√n.
-Un tesseract a chacun de ses 16 sommets connectés à quatre arêtes. La figure suivante montre comment les sommets sont connectés dans un tesseract.
Figure 5. Les 16 sommets d'un hypercube à quatre dimensions et la manière dont ils sont connectés sont représentés. Source: Wikimedia Commons.
Dépliage d'un hypercube
Une figure géométrique régulière, par exemple un polyèdre, peut être dépliée en plusieurs figures de plus petite dimensionnalité.
Dans le cas d'un 2-cube (un carré), il peut être divisé en quatre segments, c'est-à-dire quatre 1-cube.
De même, un 3 cubes peut être déplié en six 2 cubes.
Figure 6. Un n-cube peut être déplié en plusieurs (n-1) -cubes. Source: Wikimedia Commons.
Un 4 cubes (tesseract) peut être déplié en huit 3 cubes.
L'animation suivante montre le déroulement d'un tesseract.
Figure 7. Un hypercube à 4 dimensions peut être déplié en huit cubes à trois dimensions. Source: Wikimedia Commons.
Figure 8. Projection tridimensionnelle d'un hypercube quadridimensionnel effectuant une double rotation autour de deux plans orthogonaux. Source: Wikimedia Commons.
Références
- Culture scientifique. Hypercube, visualisant la quatrième dimension. Récupéré de: culturacientifica.com
- Epsilons. Hypercube ou tesseract en quatre dimensions. Récupéré de: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. Une méthode pour obtenir un tesseract à partir du développement d'un hypercube (4D). Récupéré de: researchgate.net
- Wikibooks. Mathématiques, polyèdres, hypercubes. Récupéré de: es.wikibooks.org
- Wikipédia. Hypercube. Récupéré de: en.wikipedia.com
- Wikipédia. Tesseract. Récupéré de: en.wikipedia.com