GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE: CE QU'ELLE ÉTUDIE, HISTOIRE, APPLICATIONS - MATEMATIQUES - 2025

La géométrie analytique étudie les lignes et les formes géométriques en appliquant des techniques d'algèbre de base et une analyse mathématique dans un système de coordonnées donné.

Par conséquent, la géométrie analytique est une branche des mathématiques qui analyse en détail toutes les données des figures géométriques, c'est-à-dire le volume, les angles, la surface, les points d'intersection, leurs distances, entre autres.

La caractéristique fondamentale de la géométrie analytique est qu'elle permet la représentation de figures géométriques à travers des formules.

Par exemple, les circonférences sont représentées par des équations polynomiales du deuxième degré tandis que les lignes sont exprimées par des équations polynomiales du premier degré.

La géométrie analytique apparaît au XVIIe siècle en raison de la nécessité de fournir des réponses à des problèmes qui jusqu'à présent n'avaient pas de solution. Ses principaux représentants étaient René Descartes et Pierre de Fermat.

Aujourd'hui, de nombreux auteurs la désignent comme une création révolutionnaire dans l'histoire des mathématiques, car elle représente le début des mathématiques modernes.

Histoire de la géométrie analytique

Le terme de géométrie analytique est apparu en France au XVIIe siècle en raison de la nécessité de répondre à des problèmes qui ne pouvaient être résolus en utilisant l'algèbre et la géométrie isolément, mais la solution résidait dans l'utilisation combinée des deux.

Principaux représentants de la géométrie analytique

Au cours du XVIIe siècle, deux Français par hasard dans la vie ont mené des recherches qui ont abouti d'une manière ou d'une autre à la création de la géométrie analytique. Ces personnes étaient Pierre de Fermat et René Descartes.

On considère actuellement que le créateur de la géométrie analytique était René Descartes. Ceci est dû au fait qu'il a publié son livre avant celui de Fermat et aussi en profondeur avec Descartes sur le sujet de la géométrie analytique.

Cependant, Fermat et Descartes ont découvert que les lignes et les figures géométriques pouvaient être exprimées par des équations et que les équations pouvaient être exprimées sous forme de lignes ou de figures géométriques.

D'après les découvertes faites par les deux, on peut dire que les deux sont les créateurs de la géométrie analytique.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat était un mathématicien français né en 1601 et mort en 1665. Au cours de sa vie, il a étudié la géométrie d'Euclide, d'Apollonius et de Pappus, afin de résoudre les problèmes de mesure qui existaient à cette époque.

Plus tard, ces études ont déclenché la création de la géométrie. Ils finirent par être exprimés dans son livre "Introduction aux lieux plats et solides" (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), publié 14 ans après sa mort en 1679.

Pierre de Fermat a appliqué la géométrie analytique aux théorèmes d'Apollonius sur les lieux géométriques en 1623. Il a également été le premier à appliquer la géométrie analytique à l'espace tridimensionnel.

René Descartes

Aussi connu sous le nom de Cartesius, il était un mathématicien, physicien et philosophe né le 31 mars 1596 en France et mort en 1650.

René Descartes a publié en 1637 son livre «Discours sur la méthode pour conduire correctement la raison et chercher la vérité dans la science» plus connu sous le nom de «Méthode» et de là, le terme de géométrie analytique a été introduit dans le monde. L'une de ses annexes était «Géométrie».

Éléments fondamentaux de la géométrie analytique

La géométrie analytique est composée des éléments suivants:

Le système de coordonnées cartésien

Ce système porte le nom de René Descartes.

Ce n'est pas lui qui l'a nommé, ni celui qui a complété le système de coordonnées cartésien, mais c'est lui qui a parlé de coordonnées avec des nombres positifs permettant aux futurs savants de le compléter.

Ce système est composé du système de coordonnées rectangulaires et du système de coordonnées polaires.

Systèmes de coordonnées rectangulaires

Les systèmes de coordonnées rectangulaires sont appelés le plan formé par le tracé de deux droites numériques perpendiculaires l'une à l'autre, où le point de coupure coïncide avec le zéro commun.

Ensuite, ce système serait composé d'une ligne horizontale et d'une ligne verticale.

La ligne horizontale est l'axe X ou l'axe des abscisses. La ligne verticale serait l'axe Y ou l'axe des ordonnées.

Système de coordonnées polaires

Ce système est en charge de vérifier la position relative d'un point par rapport à une ligne fixe et à un point fixe sur la ligne.

Équation cartésienne de la droite

Cette équation est obtenue à partir d'une droite lorsque l'on connaît deux points par lesquels elle passe.

Ligne droite

C'est celui qui ne dévie pas et qui n'a donc ni courbes ni angles.

Coniques

Ce sont les courbes définies par les lignes qui passent par un point fixe et par les points d'une courbe.

L'ellipse, la circonférence, la parabole et l'hyperbole sont des courbes coniques. Chacun d'eux est décrit ci-dessous.

Circonférence

La circonférence est appelée la courbe plane fermée qui est formée par tous les points du plan qui sont équidistants d'un point intérieur, c'est-à-dire du centre de la circonférence.

Parabole

C'est le lieu des points dans le plan qui sont équidistants d'un point fixe (focus) et d'une ligne fixe (directrice). Ainsi, la directrice et la focalisation sont ce qui définit la parabole.

La parabole peut être obtenue comme une coupe d'une surface conique de révolution par un plan parallèle à une génératrice.

Ellipse

La courbe fermée qui décrit un point lors du déplacement dans un plan est appelée ellipse de telle sorte que la somme de ses distances à deux (2) points fixes (appelés foyers) soit constante.

Hyperbole

L'hyperbole est appelée la courbe définie comme le lieu des points dans le plan, pour lequel la différence entre les distances de deux points fixes (foyers) est constante.

L'hyperbole a un axe de symétrie qui passe par les foyers, appelé axe focal. Il en a également un autre, qui est la bissectrice du segment qui a les points fixes à ses extrémités.

Applications

Il existe de nombreuses applications de la géométrie analytique dans différents domaines de la vie quotidienne. Par exemple, nous pouvons trouver la parabole, l'un des éléments fondamentaux de la géométrie analytique, dans de nombreux outils qui sont utilisés quotidiennement aujourd'hui. Certains de ces outils sont les suivants:

Antenne parabolique

Les antennes paraboliques comportent un réflecteur généré à la suite d'une parabole qui tourne sur l'axe de ladite antenne. La surface générée à la suite de cette action est appelée un paraboloïde.

Cette capacité du paraboloïde est appelée propriété optique ou propriété de réflexion d'une parabole, et grâce à cela, il est possible pour le paraboloïde de réfléchir les ondes électromagnétiques qu'il reçoit du mécanisme d'alimentation qui compose l'antenne.

Ponts suspendus

Lorsqu'une corde supporte un poids qui est homogène mais, en même temps, est considérablement supérieur au poids de la corde elle-même, le résultat sera une parabole.

Ce principe est fondamental pour la construction de ponts suspendus, qui sont généralement soutenus par de larges structures de câbles en acier.

Le principe de la parabole dans les ponts suspendus a été utilisé dans des structures telles que le Golden Gate Bridge, situé dans la ville de San Francisco, aux États-Unis, ou le Grand Pont du détroit d'Akashi, qui est situé au Japon et relie l'île de Awaji avec Honshū, l'île principale de ce pays.

Analyse astronomique

La géométrie analytique a également eu des utilisations très spécifiques et décisives dans le domaine de l'astronomie. Dans ce cas, l'élément de géométrie analytique qui occupe le devant de la scène est l'ellipse; La loi du mouvement des planètes de Johannes Kepler reflète cela.

Kepler, un mathématicien et astronome allemand, a déterminé que l'ellipse était la courbe qui correspondait le mieux au mouvement de Mars; Il avait précédemment testé le modèle circulaire proposé par Copernic, mais au milieu de ses expériences, il en déduisit que l'ellipse servait à dessiner une orbite parfaitement similaire à celle de la planète qu'il étudiait.

Grâce à l'ellipse, Kepler a pu affirmer que les planètes se déplaçaient sur des orbites elliptiques; cette considération était l'énoncé de la soi-disant deuxième loi de Kepler.

À partir de cette découverte, enrichie plus tard par le physicien et mathématicien anglais Isaac Newton, il a été possible d'étudier les mouvements orbitaux des planètes, et d'accroître les connaissances que l'on avait sur l'univers dont nous faisons partie.

Télescope Cassegrain

Le télescope Cassegrain porte le nom de son inventeur, le physicien français Laurent Cassegrain. Dans ce télescope, les principes de la géométrie analytique sont utilisés car il est principalement composé de deux miroirs: le premier est concave et parabolique, et le second se caractérise par sa convexe et son hyperbole.

L'emplacement et la nature de ces miroirs permettent au défaut connu sous le nom d'aberration sphérique de ne pas se produire; Ce défaut empêche les rayons lumineux de se refléter dans le foyer d'une lentille donnée.

Le télescope Cassegrain est très utile pour l'observation planétaire, en plus d'être assez polyvalent et facile à utiliser.

Références

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