FONCTION HOMOGRAPHIQUE: COMMENT TRACER, EXERCICES RÉSOLUS - MATEMATIQUES - 2025

La fonction homographique ou rationnelle ng est un type de fonction mathématique constituée de la division polynomiale en deux composantes. Il obéit à la forme P (x) / Q (x), où Q (x) ne peut pas prendre une forme nulle.

Par exemple, l'expression (2x - 1) / (x + 3) correspond à une fonction homographique avec P (x) = 2x - 1 et Q (x) = x + 3.

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Les fonctions homographiques constituent une section d'étude des fonctions analytiques, étant traitées à partir de l'approche graphique et de l'étude du domaine et de la gamme. Cela est dû aux restrictions et aux motifs qui doivent être appliqués pour vos résolutions.

Qu'est-ce qu'une fonction homographique?

Ce sont des expressions rationnelles d'une seule variable, bien que cela ne signifie pas qu'il n'y a pas d'expression similaire pour deux ou plusieurs variables, où ce serait déjà en présence de corps dans l'espace qui obéissent aux mêmes schémas que la fonction homographique dans le plan.

Ils ont de vraies racines dans certains cas, mais l'existence d'asymptotes verticales et horizontales est toujours maintenue, ainsi que des intervalles de croissance et de diminution. Généralement, une seule de ces tendances est présente, mais il existe des expressions capables de montrer les deux dans leur développement.

Son domaine est limité par les racines du dénominateur, car il n'y a pas de division par zéro des nombres réels.

Fonction homographique mixte

Ils sont très fréquents dans le calcul, notamment différentiels et intégraux, étant nécessaires pour dériver et anti-dérivée sous des formules particulières. Certains des plus courants sont énumérés ci-dessous.

Même nième racine de la fonction homographique

Excluez tous les éléments du domaine qui rendent l'argument négatif. Les racines présentes dans chaque polynôme donnent des valeurs de zéro lorsqu'elles sont évaluées.

Ces valeurs sont acceptées par le radical, bien que la restriction fondamentale de la fonction homographique doive être considérée. Où Q (x) ne peut pas recevoir de valeurs nulles.

Les solutions des intervalles doivent être interceptées:

Pour résoudre les intersections, la méthode des signes, entre autres, peut être utilisée.

Logarithme de la fonction homographique

Il est également courant de trouver les deux expressions dans une, parmi d'autres combinaisons possibles.

Comment tracer une fonction homographique?

Les fonctions homographiques correspondent graphiquement aux hyperboles dans le plan. Qui sont transportés horizontalement et verticalement selon les valeurs qui définissent les polynômes.

Il y a plusieurs éléments que nous devons définir pour représenter graphiquement une fonction rationnelle ou homographique.

Biens

Le premier sera les racines ou les zéros des fonctions P et Q.

Les valeurs obtenues seront notées sur l'axe des abscisses du graphique. Indiquant les intersections du graphique avec l'axe.

Asymptote verticale

Ils correspondent à des lignes verticales, qui délimitent le graphique selon les tendances qu'ils présentent. Ils touchent l'axe des x à des valeurs qui rendent le dénominateur nul et ne seront jamais touchés par le graphique de la fonction homographique.

Asymptote horizontale

Représenté par une ligne de point horizontale, il délimite une limite pour laquelle la fonction ne sera pas définie au point exact. Les tendances seront observées avant et après cette ligne.

Pour le calculer, nous devons recourir à une méthode similaire à la méthode de L'Hôpital, utilisée pour résoudre les limites des fonctions rationnelles qui tendent vers l'infini. Nous devons prendre les coefficients des puissances les plus élevées dans le numérateur et le dénominateur de la fonction.

Par exemple, l'expression suivante a une asymptote horizontale à y = 2/1 = 2.

Intervalle de croissance

Les valeurs ordonnées auront des tendances marquées sur le graphique en raison des asymptotes. Dans le cas de la croissance, la fonction augmentera en valeurs au fur et à mesure que les éléments du domaine sont évalués de gauche à droite.

Diminuer l'intervalle

Les valeurs des ordonnées diminuent à mesure que les éléments du domaine sont évalués de gauche à droite.

Les sauts trouvés dans les valeurs ne seront pas pris en compte comme des augmentations ou des diminutions. Cela se produit lorsque le graphique est proche d'une asymptote verticale ou horizontale, où les valeurs peuvent varier de l'infini à l'infini négatif et vice versa.

Intersection Y

En mettant la valeur de x à zéro, nous trouvons l'intersection avec l'axe des ordonnées. Ce sont des données très utiles pour obtenir le graphique de la fonction rationnelle.

Exemples

Définissez le graphique des expressions suivantes, trouvez leurs racines, les asymptotes verticales et horizontales, les intervalles d'augmentation et de diminution et l'intersection avec l'axe des ordonnées.

Exercice 1

L'expression n'a pas de racines, car elle a une valeur constante dans le numérateur. La restriction à appliquer sera x différente de zéro. Avec asymptote horizontale en y = 0 et asymptote verticale en x = 0. Il n'y a pas de points d'intersection avec l'axe y.

On observe qu'il n'y a pas d'intervalle de croissance même avec le saut de moins à plus l'infini à x = 0.

L'intervalle de diminution est

ID: (-∞; o) U (0, ∞)

Exercice 1.2

2 polynômes sont observés comme dans la définition initiale, on procède donc selon les étapes établies.

La racine trouvée est x = 7/2, qui résulte de la définition de la fonction égale à zéro.

L'asymptote verticale est à x = - 4, qui est la valeur exclue du domaine par la condition de fonction rationnelle.

L'asymptote horizontale est en y = 2, ceci après avoir divisé 2/1, les coefficients des variables de degré 1.

Il a un ordonnée à l'origine = - 7/4. Valeur trouvée après avoir égalisé x à zéro.

La fonction est en constante évolution, avec un saut de plus à moins l'infini autour de la racine x = -4.

Son intervalle de croissance est (-∞, - 4) U (- 4, ∞).

Lorsque la valeur de x s'approche de moins l'infini, la fonction prend des valeurs proches de 2. Il en va de même lorsque x s'approche de plus de l'infini.

L'expression se rapproche de plus l'infini lors de l'évaluation de -4 à partir de la gauche et de moins de l'infini lors de l'évaluation de -4 à partir de la droite.

Exercice 2

On observe le graphique de la fonction homographique suivante:

Décrivez son comportement, ses racines, ses asymptotes verticales et horizontales, ses intervalles de croissance et de diminution et son intersection avec l'axe des ordonnées.

Le dénominateur de l'expression nous indique en factorisant la différence des carrés (x + 1) (x - 1) les valeurs des racines. De cette manière, les deux asymptotes verticales peuvent être définies comme:

x = -1 et x = 1

L'asymptote horizontale correspond à l'axe des abscisses car la puissance la plus élevée est au dénominateur.

Sa seule racine est définie par x = -1/3.

L'expression décroît toujours de gauche à droite. Il s'approche de zéro à l'approche de l'infini. Moins l'infini lorsque vous vous approchez de -1 par la gauche. Un plus infini à mesure qu'il s'approche de -1 par la droite. Moins d'infini à l'approche de 1 par la gauche et plus d'infini à l'approche de 1 par la droite.

Références

1. Approximation avec des fonctions rationnelles. Donald J. Newman. American Mathematical Soc., 31 décembre. 1979
2. Fonctions rationnelles orthogonales. UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, 13 février. 1999
3. Approximation rationnelle des fonctions réelles. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 mars. 2011
4. Fonctions algébriques. Gilbert Ames Bliss. Courier Corporation, 1 janvier 2004
5. Journal de la Société mathématique espagnole, volumes 5-6. Société mathématique espagnole, Madrid 1916