ÉVÉNEMENTS INDÉPENDANTS: DÉMONSTRATION, EXEMPLES, EXERCICES - DUDAS - 2025

Deux événements sont indépendants, lorsque la probabilité que l'un d'eux se produise n'est pas influencée par le fait que l'autre se produit -ou ne se produit pas-, étant donné que ces événements se produisent au hasard.

Cette circonstance se produit chaque fois que le processus qui génère le résultat de l'événement 1, ne modifie en rien la probabilité des résultats possibles de l'événement 2. Mais si cela ne se produit pas, les événements sont dits dépendants.

Figure 1. Les billes colorées sont fréquemment utilisées pour expliquer la probabilité d'événements indépendants. Source: Pixabay.

Une situation d'événement indépendante est la suivante: Supposons que deux dés à six faces soient lancés, l'un bleu et l'autre rose. La probabilité qu'un 1 lancera sur le dé bleu est indépendante de la probabilité qu'un 1 lancera -ou ne lancera pas- sur le dé rose.

Un autre cas de deux événements indépendants est celui de lancer une pièce deux fois de suite. Le résultat du premier lancer ne dépendra pas du résultat du second et vice versa.

Preuve de deux événements indépendants

Pour vérifier que deux événements sont indépendants, nous définirons le concept de probabilité conditionnelle d'un événement par rapport à un autre. Pour cela, il faut faire la différence entre les événements exclusifs et les événements inclusifs:

Deux événements sont exclusifs si les valeurs ou éléments possibles de l'événement A n'ont rien de commun avec les valeurs ou éléments de l'événement B.

Donc dans deux événements exclusifs, l'ensemble de l'intersection de A avec B est le vide:

Hors événements: A∩B = Ø

Au contraire, si les événements sont inclusifs, il peut arriver qu'un résultat de l'événement A coïncide également avec celui d'un autre B, A et B étant des événements différents. Dans ce cas:

Événements inclusifs: A∩B ≠ Ø

Ceci nous amène à définir la probabilité conditionnelle de deux événements inclusifs, c'est-à-dire la probabilité d'occurrence de l'événement A, chaque fois que l'événement B se produit:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Par conséquent, la probabilité conditionnelle est la probabilité que A et B se produisent divisée par la probabilité que B se produise. La probabilité que B se produise conditionnellement à A peut également être définie:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Critères pour savoir si deux événements sont indépendants

Ensuite, nous donnerons trois critères pour savoir si deux événements sont indépendants. Il suffit que l'un des trois se réalise pour que l'indépendance des événements soit démontrée.

1.- Si la probabilité que A se produise chaque fois que B se produit est égale à la probabilité de A, alors ce sont des événements indépendants:

P (A¦B) = P (A) => A est indépendant de B

2.- Si la probabilité que B se produise étant donné A, est égale à la probabilité de B, alors il y a des événements indépendants:

P (B¦A) = P (B) => B est indépendant de A

3.- Si la probabilité que A et B se produisent est égale au produit de la probabilité que A se produise et de la probabilité que B se produise, alors ce sont des événements indépendants. L'inverse est également vrai.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A et B sont des événements indépendants.

Exemples d'événements indépendants

Les semelles en caoutchouc produites par deux fournisseurs différents sont comparées. Les échantillons de chaque fabricant sont soumis à plusieurs essais dont il est conclu s'ils sont ou non conformes aux spécifications.

Figure 2. Variété de semelles en caoutchouc. Source: Pixabay.

Le résumé résultant des 252 échantillons est le suivant:

Fabricant 1; 160 répondent aux spécifications; 8 ne répondent pas aux spécifications.

Fabricant 2; 80 répondent aux spécifications; 4 ne répondent pas aux spécifications.

Événement A: "que l'échantillon provient du fabricant 1".

Événement B: «que l'échantillon répond aux spécifications».

Nous voulons savoir si ces événements A et B sont indépendants ou non, pour lesquels nous appliquons l'un des trois critères mentionnés dans la section précédente.

Critère: P (B¦A) = P (B) => B est indépendant de A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Conclusion: les événements A et B sont indépendants.

Supposons l'événement C: "que l'échantillon provient du fabricant 2"

L'événement B sera-t-il indépendant de l'événement C?

Nous appliquons l'un des critères.

Critère: P (B¦C) = P (B) => B est indépendant de C

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Par conséquent, sur la base des données disponibles, la probabilité qu'une semelle en caoutchouc choisie au hasard satisfasse aux spécifications est indépendante du fabricant.

Convertir un événement indépendant en événement dépendant

Examinons l'exemple suivant pour faire la distinction entre les événements dépendants et indépendants.

Nous avons un sac avec deux boules de chocolat blanc et deux boules noires. La probabilité d'obtenir une balle blanche ou une balle noire est égale au premier essai.

Supposons que le résultat soit une bille blanche. Si la balle tirée est replacée dans le sac, la situation d'origine se répète: deux balles blanches et deux balles noires.

Ainsi, dans un deuxième événement ou match nul, les chances de tirer une bille blanche ou une bille noire sont identiques à la première fois. Ce sont donc des événements indépendants.

Mais si la bille blanche tirée lors de la première épreuve n'est pas remplacée parce que nous l'avons mangée, lors du deuxième tirage, il y a plus de chances de dessiner une bille noire. La probabilité qu'une seconde extraction obtienne à nouveau du blanc est différente de celle du premier événement et est conditionnée par le résultat précédent.

Exercices

- Exercice 1

Dans une boîte, nous mettons les 10 billes de la figure 1, dont 2 vertes, 4 bleues et 4 blanches. Deux billes seront choisies au hasard, une première et une plus tard. Il est demandé de trouver la

probabilité qu'aucun d'entre eux ne soit bleu, dans les conditions suivantes:

a) Avec remplacement, c'est-à-dire remettre la première bille avant la deuxième sélection dans la boîte. Indiquez s'il s'agit d'événements indépendants ou dépendants.

b) Sans remplacement, de manière à ce que la première bille extraite soit laissée hors de la boîte au moment de la seconde sélection. De même, indiquez s'il s'agit d'événements dépendants ou indépendants.

Solution pour

Nous calculons la probabilité que la première bille extraite ne soit pas bleue, qui est de 1 moins la probabilité qu'elle soit bleue P (A), ou directement qu'elle ne soit pas bleue, car elle est sortie verte ou blanche:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (ne soyez pas bleu) = 1 - (2/5) = 3/5

Ou bien:

P (vert ou blanc) = 6/10 = 3/5.

Si le marbre extrait est retourné, tout est comme avant. Dans ce deuxième tirage, il y a aussi une probabilité de 3/5 que la bille dessinée ne soit pas bleue.

P (ni bleu, ni bleu) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Les événements sont indépendants, puisque le marbre extrait a été remis dans la boîte et le premier événement n'influence pas la probabilité d'occurrence du second.

Solution b

Pour la première extraction, procédez comme dans la section précédente. La probabilité qu'il ne soit pas bleu est de 3/5.

Pour la deuxième extraction, nous avons 9 billes dans le sac, puisque la première n'est pas revenue, mais elle n'était pas bleue, donc dans le sac il y a 9 billes et 5 pas bleues:

P (vert ou blanc) = 5/9.

P (aucun n'est bleu) = P (d'abord pas bleu). P (deuxième pas bleu / premier pas bleu) = (3/5). (5/9) = 1/3

Dans ce cas, ce ne sont pas des événements indépendants, puisque le premier événement conditionne le second.

- Exercice 2

Un magasin propose 15 chemises en trois tailles: 3 petites, 6 moyennes et 6 grandes. 2 chemises sont sélectionnées au hasard.

a) Quelle est la probabilité que les deux maillots sélectionnés soient petits, si l'un est pris en premier et sans en remplacer un autre dans le lot?

b) Quelle est la probabilité que les deux chemises sélectionnées soient petites, si l'une est tirée en premier, est remplacée dans le lot et la seconde est retirée?

Solution pour

Voici deux événements:

Événement A: le premier maillot sélectionné est petit

Événement B: le deuxième maillot sélectionné est petit

La probabilité que l'événement A se produise est: P (A) = 3/15

La probabilité que l'événement B se produise est: P (B) = 2/14, car un maillot avait déjà été enlevé (il en reste 14), mais aussi l'événement A veut être rempli, le premier maillot retiré doit être petit et donc les deux sont 2 petits.

Autrement dit, la probabilité que A et B soient le produit des probabilités est:

P (A et B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Par conséquent, la probabilité que les événements A et B se produisent est égale au produit que l'événement A se produit, multiplié par la probabilité que l'événement B se produise si l'événement A.

Il est à noter que:

P (B¦A) = 2/14

La probabilité que l'événement B se produise indépendamment du fait que l'événement A se produise ou non sera:

P (B) = (2/14) si le premier était petit, ou P (B) = 3/14 si le premier n'était pas petit.

En général, on peut conclure ce qui suit:

P (B¦A) n'est pas égal à P (B) => B n'est pas indépendant de A

Solution b

Encore une fois, il y a deux événements:

Événement A: le premier maillot sélectionné est petit

Événement B: le deuxième maillot sélectionné est petit

P (A) = 3/15

N'oubliez pas que quel que soit le résultat, la chemise tirée du lot est remplacée et encore une fois une chemise est tirée au sort. La probabilité que l'événement B se produise, si l'événement A s'est produit est:

P (B¦A) = 3/15

La probabilité que les événements A et B se produisent sera:

P (A et B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Notez que:

P (B¦A) est égal à P (B) => B est indépendant de A.

- Exercice 3

Considérons deux événements indépendants A et B. On sait que la probabilité que l'événement A se produise est de 0,2 et la probabilité que l'événement B se produise est de 0,3. Quelle est la probabilité que les deux événements se produisent?

Solution 2

Sachant que les événements sont indépendants, on sait que la probabilité que les deux événements se produisent est le produit des probabilités individuelles. C'est-à-dire, P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Notez que c'est une probabilité bien inférieure à la probabilité que chaque événement se produise indépendamment du résultat de l'autre. Ou en d'autres termes, bien inférieurs aux cotes individuelles.

Références

1. Berenson, M. 1985. Statistiques de gestion et d'économie. Interamericana SA 126-127.
2. Institut de Monterrey. Probabilité d'événements indépendants. Récupéré de: monterreyinstitute.org
3. Professeur de mathématiques. Événements indépendants. Récupéré de: youtube.com
4. Superprof. Types d'événements, événements dépendants. Récupéré de: superprof.es
5. Tuteur virtuel. Probabilité. Récupéré de: vitutor.net
6. Wikipédia. Indépendance (probabilité). Récupéré de: wikipedia.com