ÉVÉNEMENTS COMPLÉMENTAIRES: EN QUOI ILS CONSISTENT ET EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

Les événements supplémentaires sont définis comme tout groupe d'événements s'excluant mutuellement, où l'union de ceux-ci est capable de couvrir entièrement l'espace échantillon ou les cas possibles d'expérimentation (sont exhaustifs).

Leur intersection aboutit à l'ensemble vide (∅). La somme des probabilités de deux événements complémentaires est égale à 1. En d' autres termes, 2 événements avec cette caractéristique couvrent complètement la possibilité d'événements d'une expérience.

Source: pexels.com

Quels sont les événements complémentaires?

Un cas générique très utile pour comprendre ce type d'événement est de lancer un dé:

Lors de la définition de l'espace échantillon, tous les cas possibles proposés par l'expérience sont nommés. Cet ensemble est connu comme l'univers.

Espace échantillon (S):

S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Les options non spécifiées dans l'espace échantillon ne font pas partie des possibilités de l'expérience. Par exemple {le nombre sept apparaît} Il a une probabilité de zéro.

Selon l'objectif de l'expérimentation, des ensembles et sous-ensembles sont définis si nécessaire. La notation d'ensemble à utiliser est également déterminée en fonction de l'objectif ou du paramètre à étudier:

R: {Afficher un nombre pair} = {2, 4, 6}

B: {Obtenir un nombre impair} = {1, 3, 5}

Dans ce cas, A et B sont des événements complémentaires. Parce que les deux ensembles sont mutuellement exclusifs (un nombre pair qui est impair à son tour ne peut pas sortir) et que l'union de ces ensembles couvre tout l'espace d'échantillonnage.

Les autres sous-ensembles possibles dans l'exemple ci-dessus sont:

C: {Sortie d'un nombre premier} = {2, 3, 5}

D: {x / x Ԑ N ᴧ x ˃ 3} = {4, 5, 6}

Les ensembles A, B et C sont respectivement écrits en notation descriptive et analytique. Pour l'ensemble D, la notation algébrique a été utilisée, et les résultats possibles correspondant à l'expérience ont été décrits en notation analytique.

On observe dans le premier exemple que puisque A et B sont des événements complémentaires

R: {Afficher un nombre pair} = {2, 4, 6}

B: {Obtenir un nombre impair} = {1, 3, 5}

Les axiomes suivants sont valables:

1. AUB = S; L'union de deux événements complémentaires est égale à l'espace échantillon
2. A ∩B = ∅ ; L'intersection de deux événements complémentaires est égale à l'ensemble vide
3. A '= B ᴧ B' = A; Chaque sous-ensemble est égal au complément de son homologue
4. A '∩ A = B' ∩ B = ∅; Intersection d'un ensemble avec son complément égal à vide
5. A 'UA = B' UB = S; Rejoindre un ensemble avec son complément équivaut à l'espace échantillon

Dans les études statistiques et probabilistes, les événements complémentaires font partie de l'ensemble de la théorie, étant très fréquents parmi les opérations menées dans ce domaine.

Pour en savoir plus sur les événements complémentaires, il est nécessaire de comprendre certains termes qui aident à les définir conceptuellement.

Quels sont les événements?

Ce sont des possibilités et des événements issus de l'expérimentation, capables d'offrir des résultats à chacune de leurs itérations. Les événements génèrent les données à enregistrer en tant qu'éléments d'ensembles et de sous-ensembles, les tendances de ces données justifient l'étude de la probabilité.

Des exemples d'événements sont:

• Les têtes pointues de la pièce
• Le match a abouti à un match nul
• Le produit chimique a réagi en 1,73 seconde
• La vitesse au point maximum était de 30 m / s
• Le dé marquait le chiffre 4

Qu'est-ce qu'un plugin?

Concernant la théorie des ensembles. Un complément fait référence à la partie de l'espace échantillon qui doit être ajoutée à un ensemble pour qu'il englobe son univers. C'est tout ce qui ne fait pas partie du tout.

Une façon bien connue de désigner le complément en théorie des ensembles est:

Un 'Complément de A

Diagramme de Venn

Source: pixabay.com

Il s'agit d'un schéma analytique de contenu graphique, largement utilisé dans les opérations mathématiques impliquant des ensembles, des sous-ensembles et des éléments. Chaque ensemble est représenté par une lettre majuscule et une figure ovale (cette caractéristique n'est pas obligatoire dans son utilisation) qui contient chacun de ses éléments.

Les événements supplémentaires sont vus directement des diagrammes de Venn, comme sa méthode graphique pour identifier les additionneurs correspondants à chaque ensemble.

La simple visualisation complète de l'environnement d'un ensemble, en omettant sa frontière et sa structure interne, permet de donner une définition au complément de l'ensemble étudié.

Exemples d'événements complémentaires

Des exemples d' événements complémentaires sont le succès et la défaite dans un événement où l'égalité ne peut exister (une partie de baseball).

Les variables booléennes sont des événements complémentaires: vrai ou faux, également vrai ou faux, fermé ou ouvert, activé ou désactivé.

Exercices événementiels complémentaires

Exercice 1

Soit S l'ensemble de l'univers défini par tous les nombres naturels inférieurs ou égaux à dix.

S: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Les sous-ensembles suivants de S sont définis

H: {nombres naturels inférieurs à quatre} = {0, 1, 2, 3}

J: {Multiples de trois} = {3, 6, 9}

K: {Multiples de cinq} = {5}

L: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

M: {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}

N: {nombres naturels supérieurs ou égaux à quatre} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Décider:

Combien d'événements complémentaires peuvent être formés en reliant des paires de sous-ensembles de S ?

Selon la définition des événements complémentaires, les paires qui répondent aux exigences sont identifiées (mutuellement exclusives et couvrent l'espace échantillon lors de la jonction). Les paires de sous - ensembles suivantes sont des événements complémentaires :

• H et N
• J et M
• L et K

Exercice 2

Montrer que: (M ∩ K) '= L

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {5} = {5}; L'intersection entre les ensembles produit les éléments communs entre les deux ensembles d'opérants. De cette manière, 5 est le seul élément commun entre M et K.

{5} '= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} = L; Parce que L et K sont complémentaires, le troisième axiome décrit ci-dessus est rempli (chaque sous-ensemble est égal au complément de son homologue)

Exercice 3

Définir: '

J ∩ H = {3}; D'une manière similaire à la première étape de l'exercice précédent.

(J * H) UN = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; Ces opérations sont dites combinées et sont généralement traitées avec un diagramme de Venn.

' = {0, 1, 2}; Le complément de l'opération combinée est défini.

Exercice 4

Prouvez que: { ∩ ∩} '= ∅

L'opération composée décrite dans les accolades fait référence aux intersections entre les unions des événements complémentaires. De cette façon, nous procédons à la vérification du premier axiome (L'union de deux événements complémentaires est égale à l'espace échantillon).

∩ ∩ = S ∩ S ∩ S = S; L'union et l'intersection d'un ensemble avec lui-même génère le même ensemble.

Alors; S '= ∅ Par définition d'ensembles.

Exercice 5

Définissez 4 intersections entre sous-ensembles, dont les résultats sont différents de l'ensemble vide (∅).

• M ∩ N

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {4, 5, 7, 8, 10}

• L ∩ H

{0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {0, 1, 2, 3} = {0, 1, 2, 3}

• J ∩ N

{3, 6, 9} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {6, 9}

Références

1. LE RÔLE DES MÉTHODES STATISTIQUES EN INFORMATIQUE ET EN BIOINFORMATIQUE. Irina Arhipova. Université d'agriculture de Lettonie, Lettonie.
2. Statistiques et évaluation des preuves pour les scientifiques légistes. Deuxième édition. Colin GG Aitken. École de mathématiques. L'Université d'Édimbourg, Royaume-Uni
3. THÉORIE DE BASE DES PROBABILITÉS, Robert B. Ash. Département de mathématiques. Université de l'Illinois
4. STATISTIQUES élémentaires. Dixième édition. Mario F. Triola. Boston St.
5. Mathématiques et ingénierie en informatique. Christopher J. Van Wyk. Institut d'informatique et de technologie. Bureau national des normes. Washington, DC 20234
6. Mathématiques pour l'informatique. Eric Lehman. Google Inc.

   F Thomson Leighton Département de mathématiques et Laboratoire d'informatique et d'intelligence artificielle, Massachussetts Institute of Technology; Technologies Akamai