ENEAGON: PROPRIÉTÉS, COMMENT FAIRE UN ÉNEAGON, EXEMPLES - MATEMATIQUES

Un enegon est un polygone avec neuf côtés et neuf sommets, qui peut être régulier ou non. Le nom eneágono vient du grec et est composé des mots grecs ennea (neuf) et gonon (angle).

Un autre nom pour le polygone à neuf côtés est nonagon, qui vient du mot latin nonus (neuf) et gonon (sommet). D'un autre côté, si les côtés ou les angles de l'éneagon sont inégaux les uns par rapport aux autres, alors vous avez un énagon irrégulier. Si, d'un autre côté, les neuf côtés et les neuf angles de l'éneagon sont égaux, alors c'est un éneagon régulier.

Figure 1. Eneagon régulier et eneagon irrégulier. (Élaboration propre)

Propriétés de l'éneagon

Pour un polygone à n côtés, la somme de ses angles intérieurs est:

(n - 2) * 180 °

Dans l'énégon, ce serait n = 9, donc la somme de ses angles internes est:

Sa = (9 - 2) * 180 ° = 7 * 180 ° = 1260 °

Dans tout polygone, le nombre de diagonales est:

D = n (n - 3) / 2 et dans le cas de l'énégon, puisque n = 9, on a alors D = 27.

Enegon régulier

Dans l'énage régulier ou le nonagone, il y a neuf (9) angles internes de mesure égale, donc chaque angle mesure un neuvième de la somme totale des angles internes.

La mesure des angles internes d'un énégon est alors 1260º / 9 = 140º.

Figure 2. Apothème, rayon, côtés, angles et sommets d'un eneagon régulier. (Élaboration propre)

Pour dériver la formule de l'aire d'un enegon régulier avec le côté d, il est pratique de faire quelques constructions auxiliaires, telles que celles illustrées à la figure 2.

Le centre O est trouvé en traçant les bissectrices de deux côtés adjacents. Le centre O équidistant des sommets.

Un rayon de longueur r est le segment du centre O à un sommet de l'énégon. La figure 2 montre les rayons OD et OE de longueur r.

L'apothème est le segment qui va du centre au milieu d'un côté de l'énégon. Par exemple, OJ est un apothème dont la longueur est a.

Zone d'un enegon connu le côté et l'apothème

On considère le triangle ODE sur la figure 2. L'aire de ce triangle est le produit de sa base DE et de la hauteur OJ divisé par 2:

Zone ODE = (DE * JO) / 2 = (d * a) / 2

Puisqu'il y a 9 triangles d'aire égale dans l'énégon, on en conclut que l'aire de celui-ci est:

Aire d'Enegon = (9/2) (d * a)

Zone d'un enegon connu sur le côté

Si seule la longueur d des côtés de l'énégon est connue, il est alors nécessaire de trouver la longueur de l'apothème pour appliquer la formule de la section précédente.

On considère le triangle rectangle OJE en J (voir figure 2). Si le rapport trigonométrique tangent est appliqué, on obtient:

tan (∡ OEJ) = JO / EJ.

L'angle ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, puisque EO est la bissectrice de l'angle interne de l'énégon.

D'autre part, OJ est l'apothème de longueur a.

Alors, puisque J est le milieu de ED, il s'ensuit que EJ = d / 2.

En remplaçant les valeurs précédentes dans la relation tangente, nous avons:

tan (70 °) = a / (d / 2).

Maintenant, nous effaçons la longueur de l'apothème:

a = (d / 2) tan (70 °).

Le résultat précédent est remplacé dans la formule d'aire pour obtenir:

Aire de l'énégon = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70º))

Enfin, nous trouvons la formule qui permet d'obtenir l'aire de l'énégon régulier si seule la longueur d de ses côtés est connue:

Aire de l'énégon = (9/4) d ² tan (70º) = 6,1818 d ²

Périmètre de l'énégon régulier connu de son côté

Le périmètre d'un polygone est la somme de ses côtés. Dans le cas de l'énégon, comme chacun des côtés mesure une longueur d, son périmètre sera la somme de neuf fois d, soit:

Périmètre = 9 j

Périmètre de l'énégon connu son rayon

En considérant le triangle rectangle OJE en J (voir figure 2), le rapport cosinus trigonométrique est appliqué:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

D'où vient-il:

d = 2r cos (70 °)

En substituant ce résultat, on obtient la formule du périmètre en fonction du rayon de l'énégon:

Périmètre = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r

Comment faire un enegon régulier

1- Pour construire un eneagon régulier, avec une règle et une boussole, partez de la circonférence c qui circonscrit l'éneagon. (voir figure 3)

2- Deux lignes perpendiculaires passent par le centre O de la circonférence. Ensuite, les intersections A et B de l'une des lignes sont marquées de la circonférence.

3- Avec la boussole, centrée à l'intersection B et l'ouverture égale au rayon BO, un arc est dessiné qui intercepte la circonférence d'origine en un point C.

Figure 3. Étapes pour construire un enegon régulier. (Élaboration propre)

4- L'étape précédente est répétée mais en faisant un centre en A et un rayon AO, un arc est dessiné qui intercepte la circonférence c au point E.

5- Avec l'ouverture AC et le centre en A, un arc de circonférence est dessiné. De même avec l'ouverture BE et le centre B, un autre arc est dessiné. L'intersection de ces deux arcs est marquée par le point G.

6- Centrage en G et ouverture GA, un arc est tracé qui intercepte l'axe secondaire (horizontal dans ce cas) au point H. L'intersection de l'axe secondaire avec la circonférence d'origine c est marquée I.

7- La longueur du segment IH est égale à la longueur d du côté de l'énégon.

8- Avec l'ouverture du compas IH = d, les arcs de centre A rayon AJ, centre J rayon AK, centre K rayon KL et centre L rayon LP sont dessinés successivement.

9- De même, à partir de A et du côté droit, des arcs de rayon IH = d sont dessinés qui marquent les points M, N, C et Q sur la circonférence d'origine c.

10- Enfin les segments AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ et enfin PB sont dessinés.

Il est à noter que la méthode de construction n'est pas tout à fait exacte, car on peut vérifier que le dernier côté PB est 0,7% plus long que les autres côtés. À ce jour, il n'existe aucune méthode connue de construction avec une règle et une boussole qui soit précise à 100%.

Exemples

Voici quelques exemples élaborés.

Exemple 1

Nous voulons construire un enegon régulier dont les côtés mesurent 2 cm. Quel rayon doit avoir la circonférence qui le circonscrit, de sorte qu'en appliquant la construction décrite précédemment le résultat souhaité soit obtenu?

Dans une section précédente, la formule qui relie le rayon r du cercle circonscrit au côté d d'un enegon régulier a été déduite:

d = 2r cos (70 °)

En résolvant r à partir de l'expression précédente, nous avons:

r = d / (2 cos (70º)) = 1,4619 * d

En substituant la valeur d = 2 cm dans la formule précédente, on obtient un rayon r de 2,92 cm.

Exemple 2

Quelle est l'aire d'un enegon régulier avec un côté de 2 cm?

Pour répondre à cette question, il faut se référer à la formule, précédemment représentée, qui permet de trouver l'aire d'un énégon connu par la longueur d de son côté: