DOMAINE ET CONTRADOMAINE D'UNE FONCTION (AVEC EXEMPLES) - MATEMATIQUES - 2025

Les concepts de domaine et de contre-domaine d'une fonction sont couramment enseignés dans les cours de calcul qui sont enseignés au début des diplômes universitaires.

Avant de définir le domaine et le contradomain, vous devez savoir ce qu'est une fonction. Une fonction f est une loi (règle) de correspondance faite entre les éléments de deux ensembles.

L'ensemble dans lequel les éléments sont choisis est appelé le domaine de la fonction, et l'ensemble auquel ces éléments sont envoyés via f est appelé le contre-domaine.

En mathématiques, une fonction de domaine A et de contre-domaine B est désignée par l'expression f: A → B.

L'expression précédente dit que les éléments de l'ensemble A sont envoyés à l'ensemble B suivant la loi de correspondance f.

Une fonction affecte à chaque élément de l'ensemble A un seul élément de l'ensemble B.

Domaine et contradomaine

Étant donné une fonction réelle d'une variable réelle f (x), nous avons que le domaine de la fonction sera tous ces nombres réels tels que, lorsqu'ils sont évalués dans f, le résultat est un nombre réel.

Généralement, le contre-domaine d'une fonction est l'ensemble des nombres réels R. Le contre-domaine est également appelé ensemble d'arrivée ou codomaine de la fonction f.

Le contradomaine d'une fonction est-il toujours R?

Tant que la fonction n'est pas étudiée en détail, l'ensemble des nombres réels R est généralement pris comme un contre-domaine.

Mais une fois la fonction étudiée, un ensemble plus adapté peut être pris comme contre-domaine, qui sera un sous-ensemble de R.

L'ensemble approprié mentionné dans le paragraphe précédent correspond à l'image de la fonction.

La définition de l'image ou de la plage d'une fonction f fait référence à toutes les valeurs qui proviennent de l'évaluation d'un élément du domaine en f.

Exemples

Les exemples suivants illustrent comment calculer le domaine d'une fonction et son image.

Exemple 1

Soit f une fonction réelle définie par f (x) = 2.

Le domaine de f est tous les nombres réels tels que, lorsqu'ils sont évalués en f, le résultat est un nombre réel. La contradomaine pour le moment est égale à R.

Comme la fonction donnée est constante (toujours égale à 2), peu importe le nombre réel choisi, car lors de son évaluation à f, le résultat sera toujours égal à 2, qui est un nombre réel.

Par conséquent, le domaine de la fonction donnée est tous les nombres réels; c'est-à-dire A = R.

Maintenant que l'on sait que le résultat de la fonction est toujours égal à 2, nous avons que l'image de la fonction n'est que le nombre 2, donc le contre-domaine de la fonction peut être redéfini comme B = Img (f) = {deux}.

Par conséquent, f: R → {2}.

Exemple 2

Soit g une fonction réelle définie par g (x) = √x.

Tant que l'image de g n'est pas connue, le contradomaine de g est B = R.

Avec cette fonction, il faut tenir compte du fait que les racines carrées ne sont définies que pour les nombres non négatifs; c'est-à-dire pour les nombres supérieurs ou égaux à zéro. Par exemple, √-1 n'est pas un nombre réel.

Par conséquent, le domaine de la fonction g doit être tous les nombres supérieurs ou égaux à zéro; c'est-à-dire x ≥ 0.

Par conséquent, A = [0, + ∞).

Pour calculer la plage, il faut noter que tout résultat de g (x), car il s'agit d'une racine carrée, sera toujours supérieur ou égal à zéro. Autrement dit, B = [0, + ∞).

En conclusion, g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Exemple 3

Si nous avons la fonction h (x) = 1 / (x-1), nous avons que cette fonction n'est pas définie pour x = 1, puisque le dénominateur obtiendrait zéro et la division par zéro n'est pas définie.

Par contre, pour toute autre valeur réelle, le résultat sera un nombre réel. Par conséquent, le domaine est tous réels sauf un; c'est-à-dire A = R {1}.

De la même manière, on peut observer que la seule valeur qui ne peut être obtenue comme résultat est 0, car pour qu'une fraction soit égale à zéro, le numérateur doit être zéro.

Par conséquent, l'image de la fonction est l'ensemble de tous les réels sauf zéro, donc B = R {0} est pris comme un contradomaine.

En conclusion, h: R {1} → R {0}.

Observations

Le domaine et l'image ne doivent pas nécessairement être le même ensemble, comme démontré dans les exemples 1 et 3.

Lorsqu'une fonction est représentée graphiquement sur le plan cartésien, le domaine est représenté par l'axe X et le contre-domaine ou la plage est représenté par l'axe Y.

Références

1. Fleming, W. et Varberg, DE (1989). Mathématiques du précalcul. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. et Varberg, DE (1989). Mathématiques précalculeuses: une approche de résolution de problèmes (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W. et Varberg, D. (1991). Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Pearson Education.
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7. Purcell, EJ, Varberg, D., et Rigdon, SE (2007). Calculus (neuvième éd.). Prentice Hall.
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9. Scott, Californie (2009). Cartésian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (réimpression ed.). Source de foudre.
10. Sullivan, M. (1997). Précalcul. Pearson Education.