DIVISION SYNTHÉTIQUE: MÉTHODE ET EXERCICES RÉSOLUS - MATEMATIQUES - 2025

La division synthétique est un moyen simple de diviser un polynôme P (x) de la forme d (x) = x - c. Par exemple, le polynôme P (x) = (x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1) peut être représenté comme la multiplication des deux polynômes les plus simples (x + 1) et (x ⁴ + 2x ³).

C'est un outil très utile car, en plus de nous permettre de diviser des polynômes, il nous permet également d'évaluer un polynôme P (x) à n'importe quel nombre c, qui à son tour nous dit précisément si ledit nombre est un zéro du polynôme ou non.

Grâce à l'algorithme de division, nous savons que si nous avons deux polynômes non constants P (x) et d (x), il existe des polynômes uniques q (x) et r (x) tels qu'il est vrai que P (x) = q (x) d (x) + r (x), où r (x) est égal à zéro ou inférieur à q (x). Ces polynômes sont appelés quotient et reste ou reste respectivement.

Dans les cas où le polynôme d (x) est de la forme x-c, la division synthétique nous donne un court moyen de trouver qui sont q (x) et r (x).

Méthode de division synthétique

Soit P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +… + a ₁ x + a ₀ le polynôme que nous voulons diviser et d (x) = xc le diviseur. Pour diviser par la méthode de division synthétique, nous procédons comme suit:

1- Nous écrivons les coefficients de P (x) dans la première ligne. Si aucune puissance de X n'apparaît, nous mettons zéro comme coefficient.

2- Dans la deuxième ligne, à gauche de a _n, nous plaçons c, et nous dessinons des lignes de division comme le montre la figure suivante:

3- Nous abaissons le coefficient principal à la troisième ligne.

Dans cette expression b _n-1 = a _n

4- Nous multiplions c par le coefficient dominant b _n-1 et nous écrivons le résultat dans la deuxième ligne, mais une colonne à droite.

5- On ajoute la colonne où l'on écrit le résultat précédent et on place le résultat en dessous de cette somme; c'est-à-dire dans la même colonne, troisième ligne.

Lors de l'addition, nous avons comme résultat _n-1 + c * b _n-1, que pour plus de commodité nous appellerons b _n-2

6- Nous multiplions c par le résultat précédent et écrivons le résultat à sa droite dans la deuxième ligne.

7- Nous répétons les étapes 5 et 6 jusqu'à atteindre le coefficient à ₀.

8- Nous écrivons la réponse; c'est-à-dire le quotient et le reste. Puisque nous divisons un polynôme de degré n par un polynôme de degré 1, nous avons que le quotient serait de degré n-1.

Les coefficients du polynôme quotient seront les nombres de la troisième ligne sauf le dernier, qui sera le polynôme résiduel ou le reste de la division.

Exercices résolus

- Exemple 1

Effectuez la division suivante par la méthode de division synthétique:

(x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1): (x + 1).

Solution

Nous écrivons d'abord les coefficients du dividende comme suit:

Ensuite, nous écrivons c sur le côté gauche, dans la deuxième ligne, avec les lignes de division. Dans cet exemple, c = -1.

Nous abaissons le coefficient dominant (dans ce cas b _n-1 = 1) et le multiplions par -1:

Nous écrivons son résultat à droite dans la deuxième ligne, comme indiqué ci-dessous:

Nous ajoutons les nombres dans la deuxième colonne:

Nous multiplions 2 par -1 et écrivons le résultat dans la troisième colonne, deuxième ligne:

Nous ajoutons dans la troisième colonne:

Nous procédons de la même manière jusqu'à atteindre la dernière colonne:

Ainsi, nous avons que le dernier nombre obtenu est le reste de la division, et les nombres restants sont les coefficients du polynôme quotient. Ceci s'écrit comme suit:

Si nous voulons vérifier que le résultat est correct, il suffit de vérifier que l'équation suivante est vraie:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Nous pouvons donc vérifier que le résultat obtenu est correct.

- Exemple 2

Effectuer la division suivante des polynômes par la méthode de division synthétique

(7x ³ -x + 2): (x + 2)

Solution

Dans ce cas, nous avons que le terme x ² n'apparaît pas, nous écrirons donc 0 comme coefficient. Ainsi, le polynôme serait 7x ³ + 0x ² -x + 2.

Nous écrivons leurs coefficients dans une rangée, c'est:

Nous écrivons la valeur de C = -2 sur le côté gauche de la deuxième ligne et dessinons les lignes de division.

Nous abaissons le coefficient dominant b _n-1 = 7 et le multiplions par -2, en écrivant son résultat dans la deuxième ligne à droite.

Nous ajoutons et procédons comme expliqué précédemment, jusqu'à atteindre le dernier terme:

Dans ce cas, le reste est r (x) = - 52 et le quotient obtenu est q (x) = 7x ² -14x + 27.

- Exemple 3

Une autre façon d'utiliser la division synthétique est la suivante: supposons que nous ayons un polynôme P (x) de degré n et que nous voulons savoir quelle est sa valeur en l'évaluant à x = c.

Par l'algorithme de division, nous pouvons écrire le polynôme P (x) de la manière suivante:

Dans cette expression, q (x) et r (x) sont respectivement le quotient et le reste. Maintenant, si d (x) = x- c, lors de l'évaluation en c dans le polynôme, nous obtenons ce qui suit:

Par conséquent, il ne reste plus qu'à trouver ar (x), et nous pouvons le faire grâce à la division synthétique.

Par exemple, nous avons le polynôme P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37 et nous voulons savoir quelle est sa valeur en l'évaluant à x = 5. Pour ce faire, nous effectuons le division entre P (x) et d (x) = x -5 par la méthode de division synthétique:

Une fois les opérations effectuées, nous savons que nous pouvons écrire P (x) de la manière suivante:

P (x) = (x ⁶ -4x ⁵ –x ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Par conséquent, lors de son évaluation, nous devons:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Comme nous pouvons le voir, il est possible d'utiliser la division synthétique pour trouver la valeur d'un polynôme en l'évaluant en c plutôt qu'en substituant simplement c à x.

Si nous essayions d'évaluer P (5) de manière traditionnelle, nous serions obligés d'effectuer des calculs qui deviennent souvent fastidieux.

- Exemple 4

L'algorithme de division pour les polynômes est également vrai pour les polynômes à coefficients complexes et, par conséquent, nous avons que la méthode de division synthétique fonctionne également pour de tels polynômes. Nous verrons un exemple ci-dessous.

Nous utiliserons la méthode de division synthétique pour montrer que z = 1+ 2i est un zéro du polynôme P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); c'est-à-dire que le reste de la division P (x) par d (x) = x - z est égal à zéro.

Nous procédons comme précédemment: dans la première ligne, nous écrivons les coefficients de P (x), puis dans la seconde, nous écrivons z et dessinons les lignes de division.

Nous effectuons la division comme avant; c'est:

On peut observer que le reste est nul; donc nous concluons que z = 1+ 2i est un zéro de P (x).

Références

1. Baldor Aurelio. Algèbre Grupo Editorial Patria.
2. Demana, Waits, Foley et Kennedy. Precalculus: Graphique, Numérique, Algébrique 7e Ed. Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Prentice Hall
4. Michael Sullivan. Precalculus 4e éd. Pearson Education.
5. Rouge. Armando O. Algèbre 1 6e éd. L'Athénée.