La distribution binomiale est une distribution de probabilité par laquelle la probabilité d'occurrence d'événements est calculée, à condition qu'ils se produisent sous deux modalités: succès ou échec.
Ces désignations (succès ou échec) sont complètement arbitraires, car elles ne signifient pas nécessairement de bonnes ou de mauvaises choses. Au cours de cet article, nous indiquerons la forme mathématique de la distribution binomiale, puis la signification de chaque terme sera expliquée en détail.
Figure 1. Le lancer d'un dé est un phénomène qui peut être modélisé à l'aide de la distribution binomiale. Source: Pixabay.
Équation
L'équation est la suivante:
Avec x = 0, 1, 2, 3….n, où:
- P (x) est la probabilité d'avoir exactement x succès entre n tentatives ou essais.
- x est la variable qui décrit le phénomène d'intérêt, correspondant au nombre de succès.
- n le nombre de tentatives
- p est la probabilité de succès en 1 tentative
- q est la probabilité d'échec en 1 tentative, donc q = 1 - p
Le point d'exclamation "!" est utilisé pour la notation factorielle, donc:
0! = 1
une! = 1
deux! = 2,1 = 2
3! = 3,2,1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Et ainsi de suite.
Concept
La distribution binomiale est très appropriée pour décrire des situations dans lesquelles un événement se produit ou ne se produit pas. Si cela se produit, c'est un succès et sinon, c'est un échec. De plus, la probabilité de succès doit toujours rester constante.
Il y a des phénomènes qui correspondent à ces conditions, par exemple le tirage au sort d'une pièce de monnaie. Dans ce cas, on peut dire que le «succès» prend un visage. La probabilité est de 1/2 et ne change pas, quel que soit le nombre de lancers de la pièce.
Le lancer d'un dé honnête est un autre bon exemple, ainsi que la catégorisation d'une certaine production en bonnes pièces et pièces défectueuses et devenir rouge au lieu de noir lors de la rotation d'une roue de roulette.
caractéristiques
Nous pouvons résumer les caractéristiques de la distribution binomiale comme suit:
- Tout événement ou observation est extrait d'une population infinie sans remise ou d'une population finie avec remise.
- Seules deux options sont envisagées, mutuellement exclusives: succès ou échec, comme expliqué au début.
- La probabilité de succès doit être constante dans toute observation effectuée.
- Le résultat de tout événement est indépendant de tout autre événement.
- La moyenne de la distribution binomiale est np
- L'écart type est:
Exemple d'application
Prenons un événement simple, qui peut obtenir 2 têtes 5 en lançant un dé honnête 3 fois. Quelle est la probabilité qu'en 3 lancers, 2 têtes sur 5 soient obtenues?
Il existe plusieurs façons d'y parvenir, par exemple:
- Les deux premiers lancements sont 5 et le dernier ne l'est pas.
- Le premier et le dernier sont 5 mais pas celui du milieu.
- Les deux derniers lancers sont 5 et le premier non.
Prenons la première séquence décrite à titre d'exemple et calculons sa probabilité d'occurrence. La probabilité d'obtenir un 5 têtes sur le premier jet est de 1/6, et aussi sur le second, car ce sont des événements indépendants.
La probabilité d'obtenir une autre tête autre que 5 au dernier jet est de 1 - 1/6 = 5/6. Par conséquent, la probabilité que cette séquence sorte est le produit des probabilités:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
Et les deux autres séquences? Ils ont la même probabilité: 0,023.
Et puisque nous avons un total de 3 séquences réussies, la probabilité totale sera:
Exemple 2
Une université affirme que 80% des étudiants de l'équipe collégiale de basket-ball obtiennent leur diplôme. Une enquête examine le dossier académique de 20 étudiants appartenant à ladite équipe de basket-ball qui se sont inscrits à l'université il y a quelque temps.
Sur ces 20 étudiants, 11 ont terminé leurs études et 9 ont abandonné.
Figure 2. Presque tous les étudiants qui jouent pour l'équipe universitaire obtiennent leur diplôme. Source: Pixabay.
Si l'affirmation de l'université est vraie, le nombre d'étudiants qui jouent au basket et obtiennent leur diplôme, sur 20, devrait avoir une distribution binomiale avec n = 20 et p = 0,8. Quelle est la probabilité qu'exactement 11 des 20 joueurs obtiennent leur diplôme?
Solution
Dans la distribution binomiale:
Exemple 3
Les chercheurs ont mené une étude pour déterminer s'il y avait des différences significatives dans les taux d'obtention du diplôme entre les étudiants en médecine admis dans le cadre de programmes spéciaux et les étudiants en médecine admis selon les critères d'admission réguliers.
Le taux de diplomation s'est avéré être de 94% pour les étudiants médecins admis dans le cadre de programmes spéciaux (d'après les données du Journal of the American Medical Association).
Si 10 des étudiants des programmes spéciaux sont choisis au hasard, trouvez la probabilité qu'au moins 9 d'entre eux aient obtenu leur diplôme.
b) Serait-il inhabituel de sélectionner au hasard 10 étudiants de programmes spéciaux et de constater que seulement 7 d'entre eux ont obtenu leur diplôme?
Solution
La probabilité qu'un étudiant admis dans le cadre d'un programme spécial obtienne son diplôme est de 94/100 = 0,94. Nous choisissons n = 10 étudiants des programmes spéciaux et nous voulons connaître la probabilité qu'au moins 9 d'entre eux obtiennent leur diplôme.
Les valeurs suivantes sont ensuite substituées dans la distribution binomiale:
b)
Références
- Berenson, M. 1985. Statistiques de gestion et d'économie. Interamericana SA
- MathWorks. Distribution binomiale. Récupéré de: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Statistiques de gestion et d'économie. 3e. édition. Grupo Editorial Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Statistiques de base appliquées. 2ème. Édition.
- Triola, M. 2012. Statistiques élémentaires. 11ème. Éd. Pearson Education.
- Wikipédia. Distribution binomiale. Récupéré de: es.wikipedia.org