DIFFÉRENCE DE CUBES: FORMULES, ÉQUATIONS, EXEMPLES, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

La différence des cubes est une expression algébrique binomiale de la forme a ³ - b ³, où les termes a et b peuvent être des nombres réels ou des expressions algébriques de différents types. Un exemple de différence de cubes est: 8 - x ³, puisque 8 peut être écrit comme 2 ³.

Géométriquement, nous pouvons penser à un grand cube, avec le côté a, duquel le petit cube avec le côté b est soustrait, comme illustré sur la figure 1:

Figure 1. Une différence de cubes. Source: F. Zapata.

Le volume de la figure résultante est précisément une différence de cubes:

V = a ³ - b ³

Pour trouver une expression alternative, on observe que cette figure peut être décomposée en trois prismes, comme indiqué ci-dessous:

Figure 2. La différence des cubes (à gauche de l'égalité) est égale à la somme des volumes partiels (à droite). Source: F. Zapata.

Un prisme a un volume donné par le produit de ses trois dimensions: largeur x hauteur x profondeur. De cette manière, le volume résultant est:

V = a ³ - b ³ = a ².b + b ³ + ab ²

Le facteur b est commun à la droite. De plus, dans la figure ci-dessus, il est particulièrement vrai que:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

On peut donc dire que: b = a - b. De cette façon:

Cette façon d'exprimer la différence des cubes s'avérera très utile dans de nombreuses applications et elle aurait été obtenue de la même manière, même si le côté du cube manquant dans le coin était différent de b = a / 2.

Notez que la deuxième parenthèse ressemble étroitement au produit notable du carré de la somme, mais le terme croisé n'est pas multiplié par 2. Le lecteur peut développer le côté droit pour vérifier que a ³ - b ³ est bien obtenu.

Exemples

Il existe plusieurs différences de cubes:

1 - m ⁶

a ⁶ b ³ - 8z ¹² et ⁶

(1/125).x ⁶ - 27.y ⁹

Analysons chacun d'eux. Dans le premier exemple, le 1 peut s'écrire 1 = 1 ³ et le terme m ⁶ devient: (m ²) ³. Les deux termes sont des cubes parfaits, donc leur différence est:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ²) ³

Dans le deuxième exemple, les termes sont réécrits:

a ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴) ³ (y ²) ³ = (2z ⁴ y ²) ³

La différence de ces cubes est: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ²) ³.

Enfin, la fraction (1/125) est (1/5 ³), x ⁶ = (x ²) ³, 27 = 3 ³ et y ⁹ = (y ³) ³. En remplaçant tout cela dans l'expression originale, vous obtenez:

(1/125).x ⁶ - 27y ⁹ = ³ - (3y ³) ³

Factoriser une différence de cubes

La factorisation de la différence des cubes simplifie de nombreuses opérations algébriques. Pour ce faire, il suffit d'utiliser la formule déduite ci-dessus:

Figure 3. Factorisation de la différence de cubes et expression d'un quotient remarquable. Source: F. Zapata.

Maintenant, la procédure pour appliquer cette formule se compose de trois étapes:

- En premier lieu, la racine cubique de chacun des termes de la différence est obtenue.

- Ensuite, le binôme et le trinôme qui apparaissent sur le côté droit de la formule sont construits.

- Enfin, le binôme et le trinôme sont remplacés pour obtenir la factorisation finale.

Illustrons l'utilisation de ces étapes avec chacun des exemples de différence de cube proposés ci-dessus et obtenons ainsi son équivalent pondéré.

Exemple 1

Factorisez l'expression 1 - m ^{6 en} suivant les étapes décrites. Nous commençons par réécrire l'expression comme 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ²) ³ pour extraire les racines cubiques respectives de chaque terme:

Ensuite, le binôme et le trinôme sont construits:

a = 1

b = m ²

Ensuite:

a - b = 1 - m ²

(a ² + ab + b ²) = 1 ² + 1.m ² + (m ²) ² = 1 + m ² + m ⁴

Enfin, il est substitué dans la formule a ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ²):

1 - m ⁶ = (1 - m ²) (1 + m ² + m ⁴)

Exemple 2

Factoriser:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ²) ³

Comme ce sont des cubes parfaits, les racines cubiques sont immédiates: a ² b et 2z ⁴ et ², d'où il suit que:

- Binomial: a ² b - 2z ⁴ et ²

- Trinôme: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ²) ²

Et maintenant, la factorisation souhaitée est construite:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ²). =

= (a ² b - 2z ⁴ y ²).

En principe, l'affacturage est prêt, mais il est souvent nécessaire de simplifier chaque terme. Ensuite, le produit remarquable - carré d'une somme - qui apparaît à la fin est développé et ensuite des termes similaires sont ajoutés. En se rappelant que le carré d'une somme est:

Le produit notable sur la droite est développé comme ceci:

(a ² b + 2z ⁴ et ²) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴ et ² + 4z ⁸ et ⁴

En substituant l'expansion obtenue dans la factorisation de la différence des cubes:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ²). =

Enfin, en regroupant des termes semblables et en factorisant les coefficients numériques, qui sont tous pairs, on obtient:

(a ² b - 2z ⁴ y ²). = 2 (a ² b - 2z ⁴ y ²).

Exemple 3

L'affacturage (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ est beaucoup plus facile que le cas précédent. Tout d'abord, les équivalents de a et de b sont identifiés:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

Ensuite, ils sont directement substitués dans la formule:

(1/125).x ⁶ - 27y ⁹ =.

Exercice résolu

La différence des cubes a, comme nous l'avons dit, une variété d'applications en Algèbre. Voyons quelques-uns:

Exercice 1

Résolvez les équations suivantes:

a) x ⁵ - 125 x ² = 0

b) 64 à 729 x ³ = 0

Solution pour

Tout d'abord, l'équation est prise en compte de cette manière:

x ² (x ³ - 125) = 0

Puisque 125 est un cube parfait, les parenthèses sont écrites comme une différence de cubes:

x ². (x ³ - 5 ³) = 0

La première solution est x = 0, mais nous trouvons plus si nous faisons x ³ - 5 ³ = 0, alors:

x ³ = 5 ³ → x = 5

Solution b

Le côté gauche de l'équation est réécrit sous la forme 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³. Donc:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Puisque l'exposant est le même:

9x = 4 → x = 9/4

Exercice 2

Factorisez l'expression:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Solution

Cette expression est une différence de cubes, si dans la formule de factorisation on note que:

a = x + y

b = x- y

Ensuite, le binôme est construit en premier:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

Et maintenant le trinôme:

a ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Des produits notables sont développés:

Ensuite, vous devez remplacer et réduire des termes similaires:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

L'affacturage se traduit par:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2y. (3x ² + y ²)

Références

1. Baldor, A. 1974. Algèbre. Éditorial Cultural Venezolana SA
2. Fondation CK-12. Somme et différence de cubes. Récupéré de: ck12.org.
3. Khan Academy. Factorisation des différences de cubes. Récupéré de: es.khanacademy.org.
4. Les mathématiques sont amusantes avancées. Différence de deux cubes. Récupéré de: mathsisfun.com
5. UNAM. Factoriser une différence de cubes. Récupéré de: dcb.fi-c.unam.mx.