DIAMÈTRE: SYMBOLES ET FORMULES, COMMENT L'OBTENIR, CIRCONFÉRENCE - MATEMATIQUES - 2025

Le diamètre est la ligne droite qui passe par le centre d'une courbe plate fermée ou d'une figure à deux ou trois dimensions et qui rejoint également ses points opposés. Il s'agit généralement d'un cercle (une courbe plate), d'un cercle (une figure plate), d'une sphère ou d'un cylindre circulaire droit (objets tridimensionnels).

Bien que la circonférence et le cercle soient généralement considérés comme des synonymes, il existe une différence entre les deux termes. La circonférence est la courbe fermée qui entoure le cercle, qui remplit la condition que la distance entre l'un de ses points et le centre est la même. Cette distance n'est autre que le rayon de la circonférence. Au lieu de cela, le cercle est une figure plate délimitée par la circonférence.

Figure 1. Le diamètre des roues de bicyclette est une caractéristique importante de leur conception. Source: Pixabay.

Dans le cas de la circonférence, du cercle et de la sphère, le diamètre est un segment droit qui contient au moins trois points: le centre plus deux points du bord de la circonférence ou du cercle, ou la surface de la sphère.

Et comme pour le cylindre circulaire droit, le diamètre se réfère à la section transversale, qui, avec la hauteur, sont ses deux paramètres caractéristiques.

Le diamètre de la circonférence et du cercle, symbolisé par ø ou simplement la lettre «D» ou «d», est lié à son périmètre, contour ou longueur, qui est désigné par la lettre L:

L = π.D = π. ou

Chaque fois qu'il y a une circonférence, le quotient entre sa longueur et son diamètre est le nombre irrationnel π = 3,14159…, de cette façon:

π = L / D

Comment obtenir le diamètre?

Quand on a le dessin de la circonférence ou du cercle, ou directement de l'objet circulaire, comme une pièce de monnaie ou une bague par exemple, il est très facile de trouver le diamètre avec une règle. Vous devez juste vous assurer que le bord de la règle touche deux points sur la circonférence et le centre de celle-ci en même temps.

Un pied à coulisse, un vernier ou un pied à coulisse est très approprié pour mesurer les diamètres externes et internes sur les pièces de monnaie, les cerceaux, les anneaux, les écrous, les tubes, etc.

Figure 2. Vernier numérique mesurant le diamètre d'une pièce. Source: Pixabay.

Si à la place de l'objet ou de son dessin, nous avons des données telles que le rayon R, alors en multipliant par 2 nous avons le diamètre. Et si la longueur ou le périmètre de la circonférence est connu, le diamètre peut également être connu, en dégageant:

Une autre façon de trouver le diamètre est de connaître l'aire du cercle, la surface sphérique, la section transversale du cylindre, l'aire courbe du cylindre ou les volumes de la sphère ou du cylindre. Tout dépend de quelle figure géométrique il s'agit. Par exemple, le diamètre est impliqué dans les zones et volumes suivants:

-Zone du cercle: π. (D / 2) ²

-Zone de la surface sphérique: 4π. (D / 2) ²

-Volume de la sphère: (4/3) π. (D / 2) ³

-Volume de la cylindre circulaire droit: π. (D / 2) ².H (H est la hauteur du cylindre)

Chiffres à largeur constante

Le cercle est une figure plate de largeur constante, car partout où vous le regardez, la largeur est le diamètre D. Cependant, il existe d'autres figures peut-être moins connues dont la largeur est également constante.

Voyons d'abord ce que l'on entend par largeur d'une figure: c'est la distance entre deux lignes parallèles - lignes de support -, qui à leur tour sont perpendiculaires à la direction donnée et qui emprisonnent la figure, comme le montre l'image de gauche:

Figure 3. Largeur de toute figure plate (à gauche) et triangle de Reuleaux, une figure de largeur constante (à droite). Source: F. Zapata.

A côté de la droite se trouve le triangle de Reuleaux, qui est une figure de largeur constante et qui remplit la condition spécifiée dans la figure de gauche. Si la largeur de la figure est D, son périmètre est donné par le théorème de Barbier:

L = π.D

Les égouts de la ville de San Francisco en Californie ont la forme d'un triangle de Reuleaux, du nom de l'ingénieur allemand Franz Reuleaux (1829-1905). De cette manière, les couvercles ne peuvent pas tomber à travers le trou et moins de matériau est utilisé pour les fabriquer, car leur surface est inférieure à celle du cercle:

A = (1- √3).πD ² = 0,705 D ²

Alors que pour un cercle:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = 0,785. D ²

Mais ce triangle n'est pas le seul chiffre à largeur constante. Vous pouvez construire les soi-disant polygones de Reuleaux avec d'autres polygones qui ont un nombre impair de côtés.

Diamètre d'une circonférence

Dans la figure suivante se trouvent les éléments du cercle, définis comme suit:

Chord: segment de ligne qui relie deux points sur la circonférence. Dans la figure se trouve la corde qui relie les points C et D, mais des accords infinis peuvent être dessinés pour joindre n'importe quelle paire de points sur la circonférence.

Diamètre: c'est la corde qui passe par le centre, joignant deux points de la circonférence avec le centre O. C'est la corde la plus longue d'une circonférence, c'est pourquoi elle est appelée «corde majeure».

Rayon: segment de ligne qui relie le centre à n'importe quel point de la circonférence. Sa valeur, comme le diamètre, est constante.

Circonférence: c'est l'ensemble de tous les points équidistants de O.

Arc: il est défini comme un segment de circonférence délimité par deux rayons (non dessiné sur la figure).

Figure 4. Parties de la circonférence, y compris le diamètre, qui passe par le centre. Source: Wikimedia Commons.

- Exemple 1

Le rectangle montré est de 10 pouces de hauteur, qui, lorsqu'il est roulé, forme un cylindre circulaire droit dont le diamètre est de 5 pouces. Répondre aux questions suivantes:

Figure 5. Un rectangle enroulé devient un cylindre circulaire droit. Source: Jiménez, R. Mathématiques II. Géométrie et trigonométrie. 2ème. Édition. Pearson.

a) Quel est le contour du tube?

b) Trouvez l'aire du rectangle

c) Trouvez l'aire de la section transversale du cylindre.

Solution pour

Le contour du tube est L = π.D = 5π in = 15,71 in.

Solution b

L'aire du rectangle est la base x la hauteur, avec la base L déjà calculée et la hauteur est de 10 pouces selon l'énoncé, donc:

A = 15,71 pouces x 10 pouces = 157,1 pouces ².

Solution c

Enfin, la surface demandée est calculée comme ceci:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = (π / 4) x (5 pouces) ² = 19,63 pouces ².

- Exemple 2

Calculez la zone ombrée de la figure 5a. Le carré a le côté L.

Figure 6. Trouvez la zone ombrée sur la figure de gauche. Jiménez, R. Mathématiques II. Géométrie et trigonométrie. 2ème. Édition. Pearson.

Solution

Sur la figure 5b, deux demi-cercles de taille identique ont été dessinés en rose et bleu, superposés à la figure originale. Entre eux, ils forment un cercle complet. Si vous trouvez l'aire du carré et soustrayez l'aire du cercle, vous créez la zone ombrée sur la figure 5b. Et en regardant de plus près, il s'avère que c'est la moitié de la zone ombragée en 5a.

-Aire carrée: L ²

-Diamètre du demi-cercle: L

-Surface du cercle: π. (L / 2) ² = (π / 4) L ²

-Différence des aires = la moitié de l'aire ombrée =

L ² - (π / 4) L ² = L ² = 0,2146 L ²

-Zone ombrée = 2 x 0,2146 L ² = 0,4292L2

Combien de diamètres a une circonférence?

Vous pouvez dessiner des diamètres infinis sur un cercle, et chacun d'entre eux mesure la même chose.

Références

1. Antonio. Triangles de Reuleaux et autres courbes à largeur constante. Récupéré de: divulgators.com.
2. Baldor, A. 2002. Géométrie et trigonométrie des plans et de l'espace. Groupe culturel Patria.
3. Jiménez, R. Mathématiques II. Géométrie et trigonométrie. 2ème. Édition. Pearson.
4. Wikipédia. Triangle de Reuleaux. Récupéré de: es.wikipedia.org.
5. Wolfram MathWorld. Diamètre. Récupéré de: mathworld.wolfram.com.