- Façons de décomposer les nombres naturels
- Décomposition en produit de facteurs premiers
- Décomposition en somme de puissances de 2
- Décomposition additive
- Exercices et solutions
- Décomposition en produit de nombres premiers
- Décomposition
- Décomposition additive
- Références
La décomposition des nombres naturels peut être donnée de différentes manières: en tant que produit des facteurs premiers, en tant que somme des puissances de deux et décomposition additive. Ils seront expliqués en détail ci-dessous.
Une propriété utile des puissances de deux est qu'elles peuvent convertir un nombre du système décimal en un nombre du système binaire. Par exemple, 7 (nombre dans le système décimal) équivaut au nombre 111, puisque 7 = (2 ^ 2) + (2 ^ 1) + (2 ^ 0).
Les nombres naturels sont utilisés pour compter
Les nombres naturels sont les nombres avec lesquels les objets peuvent être comptés et énumérés. Dans la plupart des cas, on considère que les nombres naturels commencent à 1. Ces nombres sont enseignés à l'école et sont utiles dans presque toutes les activités de la vie quotidienne.
Façons de décomposer les nombres naturels
Comme mentionné précédemment, voici trois façons différentes de décomposer les nombres naturels.
Décomposition en produit de facteurs premiers
Chaque nombre naturel peut être exprimé comme un produit de nombres premiers. Si le nombre est déjà premier, sa décomposition est elle-même multipliée par un.
Sinon, il est divisé par le plus petit nombre premier par lequel il est divisible (il peut être une ou plusieurs fois), jusqu'à obtenir un nombre premier.
Par exemple:
5 = 5 * 1.
15 = 3 * 5.
28 = 2 * 2 * 7.
624 = 2 * 312 = 2 * 2 * 156 = 2 * 2 * 2 * 78 = 2 * 2 * 2 * 2 * 39 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 13.
175 = 5 * 35 = 5 * 5 * 7.
Décomposition en somme de puissances de 2
Une autre propriété intéressante est que tout nombre naturel peut être exprimé comme une somme de puissances de 2. Par exemple:
1 = 2 ^ 0.
2 = 2 ^ 1.
3 = 2 ^ 1 + 2 ^ 0.
4 = 2 ^ 2.
5 = 2 ^ 2 + 2 ^ 0.
6 = 2 ^ 2 + 2 ^ 1.
7 = 2 ^ 2 + 2 ^ 1 + 2 ^ 0.
8 = 2 ^ 3.
15 = 2 ^ 3 + 2 ^ 2 + 2 ^ 1 + 2 ^ 0.
Décomposition additive
Une autre façon de décomposer les nombres naturels est de considérer leur système de numérotation décimale et la valeur de position de chaque chiffre.
Ceci est obtenu en considérant les chiffres de droite à gauche et en commençant par unité, dix, cent, unité mille, dix mille, cent mille, unité million, etc. Cette unité est multipliée par le système de numérotation correspondant.
Par exemple:
239 = 2 * 100 + 3 * 10 + 9 * 1 = 200 + 30 + 9.
4893 = 4 * 1000 + 8 * 100 + 9 * 10 + 3 * 1.
Exercices et solutions
Considérez le nombre 865236. Trouvez sa décomposition en un produit de nombres premiers, somme des puissances de 2, et sa décomposition additive.
Décomposition en produit de nombres premiers
-Comme 865236 est pair, vous pouvez être sûr que le plus petit nombre premier par lequel il est divisible est 2.
-En divisant par 2, vous obtenez: 865236 = 2 * 432618. Encore une fois, vous obtenez un nombre pair.
-Il continue de se diviser jusqu'à ce qu'un nombre impair soit obtenu. Ensuite: 865236 = 2 * 432618 = 2 * 2 * 216309.
-Le dernier nombre est impair, mais il est divisible par 3 puisque la somme de ses chiffres est.
-Ainsi, 865236 = 2 * 432618 = 2 * 2 * 216309 = 2 * 2 * 3 * 72103. Le nombre 72103 est un nombre premier.
-Par conséquent, la décomposition souhaitée est la dernière.
Décomposition
-La puissance la plus élevée de 2 qui est la plus proche de 865236 est recherchée.
-C'est 2 ^ 19 = 524288. Répétez maintenant la même chose pour la différence 865236 - 524288 = 340948.
-La puissance la plus proche dans ce cas est 2 ^ 18 = 262144. Maintenant, nous continuons avec 340948-262144 = 78804.
-Dans ce cas, la puissance la plus proche est 2 ^ 16 = 65536. Continuez 78804 - 65536 = 13268 et nous obtenons que la puissance la plus proche est 2 ^ 13 = 8192.
-Maintenant avec 13268-8192 = 5076 et vous obtenez 2 ^ 12 = 4096.
-Ensuite avec 5076 - 4096 = 980 et nous avons 2 ^ 9 = 512. Nous continuons avec 980 - 512 = 468, et la puissance la plus proche est 2 ^ 8 = 256.
-Maintenant vient 468 - 256 = 212 avec 2 ^ 7 = 128.
-Ensuite 212 - 128 = 84 avec 2 ^ 6 = 64.
-Maintenant 84-64 = 20 avec 2 ^ 4 = 16.
-Et enfin 20-16 = 4 avec 2 ^ 2 = 4.
Enfin, vous devez:
865236 = 2 ^ 19 + 2 ^ 18 + 2 ^ 16 + 2 ^ 13 + 2 ^ 12 + 2 ^ 9 + 2 ^ 8 + 2 ^ 7 + 2 ^ 6 + 2 ^ 4 + 2 ^ 2.
Décomposition additive
En identifiant les unités, nous avons que l'unité correspond au numéro 6, le dix à 3, le cent à 2, l'unité de mille à 5, le dix de mille à 6 et le cent de mille à 8.
Alors, 865236 = 8 * 100 000 + 6 * 10 000 + 5 * 1 000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 6
= 800 000 + 60 000 + 5 000 + 200 + 30 + 6.
Références
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- Lahora, MC (1992). Activités mathématiques avec des enfants de 0 à 6 ans. Éditions Narcea.
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