DÉRIVÉES PARTIELLES: NOTATION, EXEMPLES ET EXERCICES RÉSOLUS - MATEMATIQUES - 2025

Les dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables sont celles qui déterminent le taux de changement de la fonction lorsque l'une des variables a une variation infinitésimale, tandis que les autres variables restent inchangées.

Pour rendre l'idée plus concrète, supposons le cas d'une fonction à deux variables: z = f (x, y). La dérivée partielle de la fonction f par rapport à la variable x est calculée comme la dérivée ordinaire par rapport à x, mais en prenant la variable y comme si elle était constante.

Figure 1. Fonction f (x, y) et ses dérivées partielles ∂ _x f y ∂ _y f au point P. (Elaboré par R. Pérez avec geogebra)

Notation dérivée partielle

L'opération dérivée partielle de la fonction f (x, y) sur la variable x est désignée de l'une des manières suivantes:

Dans les dérivées partielles, le symbole ∂ (une sorte de lettre arrondie d également appelée d de Jacobi) est utilisé, par opposition à la dérivée ordinaire pour les fonctions à variable unique où la lettre d est utilisée pour dérivée.

De manière générale, la dérivée partielle d'une fonction multivariée, par rapport à l'une de ses variables, se traduit par une nouvelle fonction dans les mêmes variables de la fonction d'origine:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Calcul et signification de la dérivée partielle

Pour déterminer le taux de changement ou la pente de la fonction pour un point spécifique (x = a, y = b) dans la direction parallèle à l'axe X:

1- La fonction ∂ _x f (x, y) = g (x, y) est calculée en prenant la dérivée ordinaire de la variable x et en laissant la variable y fixe ou constante.

2- Ensuite, la valeur du point x = a et y = b est substituée dans laquelle on veut connaître le taux de changement de la fonction dans la direction x:

{Pente dans la direction x au point (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- Pour calculer le taux de changement dans la direction y au point de coordonnées (a, b), calculez d'abord ∂ _et f (x, y) = h (x, y).

4- Ensuite, le point (x = a, y = b) est substitué dans le résultat précédent pour obtenir:

{Pente dans la direction y au point (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Exemples de dérivées partielles

Voici quelques exemples de dérivées partielles:

Exemple 1

Compte tenu de la fonction:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Trouvez les dérivées partielles de la fonction f par rapport à la variable x et à la variable y.

Solution:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Notons que pour calculer la dérivée partielle de la fonction f par rapport à la variable x, la dérivée ordinaire par rapport à x a été effectuée mais la variable y a été prise comme si elle était constante. De même, dans le calcul de la dérivée partielle de f par rapport à y, la variable x a été prise comme si elle était une constante.

La fonction f (x, y) est une surface appelée paraboloïde représentée sur la figure 1 en couleur ocre.

Exemple 2

Trouvez le taux de changement (ou pente) de la fonction f (x, y) de l'exemple 1, dans la direction de l'axe X et de l'axe Y pour le point (x = 1, y = 2).

Solution: Pour trouver les pentes dans les directions x et y au point donné, il suffit de substituer les valeurs du point dans la fonction ∂ _x f (x, y) et dans la fonction ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = 1 -2⋅ = -2

∂ _et f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

La figure 1 montre la tangente (en couleur rouge) à la courbe déterminée par l'intersection de la fonction f (x, y) avec le plan y = 2, la pente de cette droite est de -2. La figure 1 montre également la tangente (en vert) à la courbe qui définit l'intersection de la fonction f avec le plan x = 1; Cette ligne a une pente -4.

Exercices

Exercice 1

Un verre conique à un instant donné contient de l'eau de sorte que la surface de l'eau a un rayon r et une profondeur h. Mais le verre a un petit trou dans le fond à travers lequel de l'eau est perdue à un taux de C centimètres cubes par seconde. Déterminez le taux de descente de la surface de l'eau en centimètres par seconde.

Solution:

Tout d'abord, il faut se rappeler que le volume d'eau à l'instant donné est:

Le volume est fonction de deux variables, le rayon r et la profondeur h: V (r, h).

Lorsque le volume change d'une quantité infinitésimale dV, le rayon r de la surface de l'eau et la profondeur h de l'eau changent également selon la relation suivante:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Nous procédons au calcul des dérivées partielles de V par rapport à r et h respectivement:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

De plus, le rayon r et la profondeur h rencontrent la relation suivante:

La division des deux membres par le différentiel de temps dt donne:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Mais dV / dt est le volume d'eau perdu par unité de temps qui est connu pour être C centimètres par seconde, tandis que dh / dt est le taux de descente de la surface libre de l'eau, qui sera appelée v. Autrement dit, la surface de l'eau à l'instant donné descend à une vitesse v (en cm / s) donnée par:

v = C / (π r ^ 2).

En tant qu'application numérique, supposons que r = 3 cm, h = 4 cm et le taux de fuite C est de 3 cm ^ 3 / s. Alors la vitesse de descente de la surface à cet instant est:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

Exercice 2

Le théorème de Clairaut-Schwarz stipule que si une fonction est continue dans ses variables indépendantes et que ses dérivées partielles par rapport aux variables indépendantes sont également continues, alors les dérivées mixtes du second ordre peuvent être interchangées. Vérifiez ce théorème pour la fonction

f (x, y) = x ^ 2 y, c'est-à-dire qu'il doit être vrai que f _xy f = ∂ _yx f.

Solution:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) tandis que ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Il a été prouvé que le théorème de Schwarz est valable, puisque la fonction f et ses dérivées partielles sont continues pour tous les nombres réels.

Références

1. Frank Ayres, J., et Mendelson, E. (2000). Calcul 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Le calcul avec la géométrie analytique. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., et Rigdon, SE (2007). Calcul. Mexique: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Calcul différentiel. Hypoténuse.
5. Saenz, J. (2006). Calcul intégral. Hypoténuse.
6. Wikipédia. Dérivée partielle. Récupéré de: es.wikipedia.com