DÉRIVÉES IMPLICITES: COMMENT ELLES SONT RÉSOLUES ET LES EXERCICES RÉSOLUS - MATEMATIQUES - 2024

Les dérivées implicites sont des outils utilisés dans une technique de différenciation appliquée aux fonctions. Ils sont appliqués lorsqu'il n'est pas possible, selon les méthodes régulières, de résoudre la variable dépendante à dériver. Ce jeu est réalisé en fonction de la variable indépendante.

Par exemple, dans l'expression 3xy ³ - 2y + xy ² = xy, l'expression qui définit «y» en fonction de «x» ne peut pas être obtenue. De sorte qu'en dérivant l'expression différentielle dy / dx peut être obtenue.

Comment les dérivées implicites sont-elles résolues?

Pour résoudre un dérivé implicite, nous commençons par une expression implicite. Par exemple: 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0. Cela a déjà été résolu correctement, mais cela n'est pas une condition nécessaire pour obtenir la dérivée de y par rapport à x. Ensuite, chacun des éléments est dérivé en respectant la règle de chaîne pour les fonctions mixtes:

3xy ³ est composé de 2 variables, donc d (3xy ³) sera traité comme le dérivé d'un produit de fonctions.

d (3xy ³) / dx = 3y ³ + 3y ^2. (3x) y '= 3y ³ + 9xy ² y'

Où l'élément y 'est appelé «y prime» et représente dy / dx

-2y Il est dérivé selon la loi KU = K.U '

d (-2y) = -2 y '

xy ² suppose un autre différentiel composé d'un produit de fonctions

d (xy ²) = y ² + 2xy y '

-xy est traité de manière homologue

d (-xy) = -y - x y '

Ils sont substitués à égalité, sachant que la dérivée de zéro est nulle.

3y ³ + 9xy ² y '- 2 y' + y ² + 2xy y '- y - x y' = 0

Les éléments qui ont le terme y 'sont regroupés d'un côté de l'égalité

3y ³ + y ² - y = -9xy ² y '+ 2 y' + x y '

Le facteur commun y 'est extrait du côté droit de l'égalité

3y ³ + y ² - y = y '(-9xy ² + x + 2)

Enfin, le terme qui multiplie y 'est effacé. On obtient ainsi l'expression correspondant à la dérivée implicite de y par rapport à x.

y '= dy / dx = (3y ³ + y ² - y) / (- 9xy ² + x + 2)

Règle de la chaîne

Dans la dérivation implicite, la règle de la chaîne est toujours respectée. Toutes les expressions différentielles seront données en fonction de la variable indépendante X. Ainsi, toute variable θ autre que X, doit inclure le terme dθ / dx après avoir été dérivée.

Ce terme n'apparaîtra qu'au premier degré ou avec un exposant égal à 1. Cette qualité le rend parfaitement clair dans les méthodes d'affacturage traditionnelles. Ainsi, il est possible d'obtenir l'expression qui définit le différentiel dθ / dx.

La règle de la chaîne montre le caractère progressif du processus de différenciation ou de dérivation. Où pour chaque fonction composée f, nous avons que l'expression différentielle de f sera

Ordre opérationnel

Dans chaque formule ou loi de dérivation appliquée, l'ordre des variables doit être pris en compte. Les critères associés à la variable indépendante sont respectés, sans altérer sa corrélation avec la variable dépendante.

La relation de la variable dépendante au moment de la dérivation est prise directement; À l'exception du fait que cela sera considéré comme une deuxième fonction, c'est pourquoi le critère de règle de chaîne pour les fonctions mixtes est appliqué.

Cela peut être développé dans des expressions avec plus de 2 variables. Selon les mêmes principes, tous les différentiels se référant aux variables dépendantes seront notés.

Graphiquement, le même critère qui définit la dérivée est traité. Alors que la dérivée est la pente de la tangente à la courbe dans le plan, le reste des différentiels appartenant aux variables dépendantes (dy / dx, dz / dx) représentent des plans tangents aux corps vectoriels décrits par les multiples fonctions variables.

Implicite

Une fonction est dite implicitement définie si l'expression y = f (x) peut être représentée comme une fonction à variables multiples F (x, y) = 0 tant que F est définie dans le plan R ².

3xy ³ - 2y + xy ² = xy peut être écrit sous la forme 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0

Compte tenu de l'impossibilité de rendre explicite la fonction y = f (x).

L'histoire

Le calcul différentiel a commencé à être nommé par divers chercheurs en mathématiques vers le XVIIe siècle. La première fois que cela a été mentionné, c'est grâce aux contributions de Newton et Leibniz. Les deux ont traité le calcul différentiel de différents points de vue, mais convergent dans leurs résultats.

Alors que Newton se concentrait sur la différenciation en tant que vitesse ou taux de changement, l'approche de Leibniz était plus géométrique. On peut dire que Newton a attaqué les conjectures laissées par Apollonius de Perge et Leibniz les idées géométriques de Fermat.

La dérivation implicite apparaît immédiatement lorsque l'on considère les équations différentielles et intégrales. Ceux-ci ont étendu le concept géométrique de Leibniz à R ³ et même aux espaces multidimensionnels.

Applications

Des dérivés implicites sont utilisés dans diverses situations. Ils sont courants dans les problèmes de taux de change entre variables liées, où, selon le sens de l'étude, les variables seront considérées comme dépendantes ou indépendantes.

Ils ont également des applications géométriques intéressantes, comme dans les problèmes de réflexion ou d'ombre, sur des figures dont la forme peut être modélisée mathématiquement.

Ils sont fréquemment utilisés dans les domaines de l'économie et de l'ingénierie, ainsi que dans diverses enquêtes sur les phénomènes naturels et les bâtiments expérimentaux.

Exercices résolus

Exercice 1

Définissez l'expression implicite qui définit dy / dx

Chaque élément de l'expression est différencié

Établir la règle de la chaîne dans chaque cas compétent

Regrouper sur un côté de l'égalité les éléments qui ont dy / dx

Il est factorisé en utilisant le facteur commun

Il est résolu en obtenant l'expression recherchée

Exercice 2

Définissez l'expression implicite qui définit dy / dx

Exprimer les dérivées à réaliser

Dériver implicitement selon la règle de la chaîne

Factorisation des éléments communs

Regrouper le terme dy / dx sur un côté de l'égalité

Facteur commun à l'élément différentiel

Nous isolons et obtenons l'expression recherchée

Références

1. Calcul d'une variable unique. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 novembre 2008
2. Le théorème des fonctions implicites: histoire, théorie et applications. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 novembre. 2012
3. Analyse multivariée. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 décembre. 2010
4. Dynamique des systèmes: modélisation, simulation et contrôle des systèmes mécatroniques. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 mars 2012
5. Calcul: mathématiques et modélisation. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 janv. 1999