DÉRIVÉS ALGÉBRIQUES (AVEC EXEMPLES) - MATEMATIQUES - 2025

Les dérivés algébriques consistent en l'étude du dérivé dans le cas des fonctions algébriques. L'origine de la notion de dérivé remonte à la Grèce antique. Le développement de cette notion a été motivé par la nécessité de résoudre deux problèmes importants, l'un en physique et l'autre en mathématiques.

En physique, la dérivée résout le problème de la détermination de la vitesse instantanée d'un objet en mouvement. En mathématiques, il vous permet de trouver la ligne tangente à une courbe en un point donné.

Bien qu'il y ait vraiment beaucoup plus de problèmes qui sont résolus en utilisant le dérivé, ainsi que ses généralisations, des résultats qui sont venus après l'introduction de son concept.

Les pionniers du calcul différentiel sont Newton et Leibniz. Avant de donner la définition formelle, nous allons développer l'idée sous-jacente, d'un point de vue mathématique et physique.

La dérivée comme pente de la ligne tangente à une courbe

Supposons que le graphe d'une fonction y = f (x) soit un graphe continu (sans pics, ni sommets ni espaces), et soit A = (a, f (a)) un point fixe dessus. On veut trouver l'équation de la droite tangente au graphe de la fonction f au point A.

Prenons tout autre point P = (x, f (x)) sur le graphique, près du point A, et dessinons la ligne sécante qui passe par A et P. Une ligne sécante est une ligne qui coupe le graphique d'une courbe par un ou plus de points.

Pour obtenir la droite tangente que nous voulons, il suffit de calculer la pente puisque nous avons déjà un point sur la droite: le point A.

Si nous déplaçons le point P le long du graphique et nous nous rapprochons de plus en plus du point A, la ligne sécante mentionnée précédemment se rapprochera de la ligne tangente que nous voulons trouver. En prenant la limite lorsque "P tend vers A", les deux droites coïncideront, donc leurs pentes également.

La pente de la droite sécante est donnée par

Dire que P s'approche de A équivaut à dire que "x" s'approche de "a". Ainsi, la pente de la tangente au graphe de f au point A sera égale à:

L'expression ci-dessus est notée f '(a), et est définie comme la dérivée d'une fonction f au point «a». On voit donc qu'analytiquement, la dérivée d'une fonction en un point est une limite, mais géométriquement, c'est la pente de la tangente au graphe de la fonction en ce point.

Nous allons maintenant examiner cette notion du point de vue de la physique. Nous arriverons à la même expression de la limite précédente, bien que par un chemin différent, obtenant ainsi l'unanimité de la définition.

La dérivée comme vitesse instantanée d'un objet en mouvement

Regardons un bref exemple de ce que signifie la vitesse instantanée. Lorsqu'on dit, par exemple, qu'une voiture pour atteindre une destination le fait à une vitesse de 100 km / h, ce qui signifie qu'en une heure, elle a parcouru 100 km.

Cela ne signifie pas nécessairement que pendant toute l'heure la voiture a toujours parcouru 100 km, le compteur de vitesse de la voiture pourrait à certains moments marquer moins ou plus. Si vous aviez besoin de vous arrêter à un feu, votre vitesse à ce moment-là était de 0 km. Cependant, après une heure, le trajet était de 100 km.

C'est ce que l'on appelle la vitesse moyenne et est donnée par le quotient de la distance parcourue et du temps écoulé, comme nous venons de le voir. La vitesse instantanée, en revanche, est celle qui marque l'aiguille du compteur de vitesse d'une voiture à un instant donné (heure).

Regardons cela maintenant plus généralement. Supposons qu'un objet se déplace le long d'une ligne et que ce déplacement soit représenté par l'équation s = f (t), où la variable t mesure le temps et la variable s le déplacement, en tenant compte de son début en l'instant t = 0, moment auquel il est également nul, c'est-à-dire f (0) = 0.

Cette fonction f (t) est connue sous le nom de fonction de position.

Une expression est recherchée pour la vitesse instantanée de l'objet à un instant fixe "a". A cette vitesse, nous le désignerons par V (a).

Soit t tout instant proche de l'instant "a". Dans l'intervalle de temps entre «a» et «t», le changement de position de l'objet est donné par f (t) -f (a).

La vitesse moyenne dans cet intervalle de temps est:

Qui est une approximation de la vitesse instantanée V (a). Cette approximation sera meilleure à mesure que t se rapproche de "a". Donc,

Notez que cette expression est la même que celle obtenue dans le cas précédent, mais dans une perspective différente. C'est ce que l'on appelle la dérivée d'une fonction f en un point "a" et est notée f '(a), comme indiqué ci-dessus.

Notez qu'en faisant le changement h = xa, nous avons que lorsque "x" tend vers "a", "h" tend vers 0, et la limite précédente est transformée (de manière équivalente) en:

Les deux expressions sont équivalentes mais il est parfois préférable d'utiliser l'une plutôt que l'autre, selon le cas.

La dérivée d'une fonction f en tout point "x" appartenant à son domaine est alors définie de manière plus générale comme

La notation la plus courante pour représenter la dérivée d'une fonction y = f (x) est celle que nous venons de voir (f 'ou y'). Cependant, une autre notation largement utilisée est la notation de Leibniz qui est représentée par l'une des expressions suivantes:

Puisque le dérivé est essentiellement une limite, il peut exister ou non, puisque les limites n'existent pas toujours. Si elle existe, la fonction en question est dite différentiable en un point donné.

Fonction algébrique

Une fonction algébrique est une combinaison de polynômes par addition, soustraction, produits, quotients, puissances et radicaux.

Un polynôme est une expression de la forme

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

Où n est un nombre naturel et tout a _i, avec i = 0,1,…, n, sont des nombres rationnels et _n ≠ 0. Dans ce cas, le degré de ce polynôme est dit n.

Voici des exemples de fonctions algébriques:

Les fonctions exponentielles, logarithmiques et trigonométriques ne sont pas incluses ici. Les règles de dérivation que nous verrons ensuite sont valables pour les fonctions en général, mais nous nous limiterons et les appliquerons dans le cas des fonctions algébriques.

Règles de contournement

Dérivée d'une constante

Indique que la dérivée d'une constante est zéro. Autrement dit, si f (x) = c, alors f '(x) = 0. Par exemple, la dérivée de la fonction constante 2 est égale à 0.

Dérivée d'une puissance

Si f (x) = x ⁿ, alors f '(x) = nx ^n-1. Par exemple, la dérivée de x ³ est 3x ². En conséquence, nous obtenons que la dérivée de la fonction d'identité f (x) = x est f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

Un autre exemple est le suivant: soit f (x) = 1 / x ², puis f (x) = x ^-2 et f '(x) = - 2x ^-2-1 = ^{-2x -3}.

Cette propriété est également des racines valides, car les racines sont des puissances rationnelles et ce qui précède peut également être appliqué dans ce cas. Par exemple, la dérivée d'une racine carrée est donnée par

Dérivée d'addition et de soustraction

Si f et g sont des fonctions différentiables dans x, alors la somme f + g est également différentiable et il est satisfait que (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

De même, nous avons que (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). En d'autres termes, la dérivée d'une somme (soustraction), est la somme (ou soustraction) des dérivées.

Exemple

Si h (x) = x ² + x-1, alors

h '(x) = (x ²) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Dérivé d'un produit

Si f et g sont des fonctions différentiables en x, alors le produit fg est également différentiable en x et il est vrai que

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

En conséquence, il s'ensuit que si c est une constante et f est une fonction différentiable en x, alors cf est également différentiable en x et (cf) '(x) = cf' (X).

Exemple

Si f (x) = 3x (x ² +1), alors

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3.

Dérivée d'un quotient

Si f et g sont différentiables en x et g (x) ≠ 0, alors f / g est également différentiable en x, et il est vrai que

Exemple: si h (x) = x ³ / (x ² -5x), alors

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ².

Règle de la chaîne

Cette règle permet de dériver la composition des fonctions. Énoncez ce qui suit: si y = f (u) est différentiable en u, yu = g (x) est différentiable en x, alors la fonction composite f (g (x)) est différentiable en x, et il est vrai que '= f «(g (x)) g» (x).

Autrement dit, le dérivé d'une fonction composite est le produit du dérivé de la fonction externe (dérivé externe) et du dérivé de la fonction interne (dérivé interne).

Exemple

Si f (x) = (x ⁴ -2x) ³, alors

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

Il existe également des résultats pour le calcul de la dérivée de l'inverse d'une fonction, ainsi que la généralisation aux dérivées d'ordre supérieur. Les applications sont nombreuses. Parmi eux, son utilité dans les problèmes d'optimisation et les fonctions maximales et minimales se démarquent.

Références

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