CORDE (GÉOMÉTRIE): LONGUEUR, THÉORÈME ET EXERCICES - MATEMATIQUES - 2025

Une corde, en géométrie plane, est le segment de ligne qui relie deux points sur une courbe. On dit que la ligne qui contient ce segment est une ligne sécante à la courbe. Il s'agit souvent d'un cercle, mais des accords peuvent certainement être dessinés sur de nombreuses autres courbes, telles que les ellipses et les paraboles.

Dans la figure 1 à gauche, il y a une courbe à laquelle appartiennent les points A et B. La corde entre A et B est le segment vert. À droite se trouve une circonférence et l'une de ses cordes, car il est possible de dessiner des infinis.

Figure 1. A gauche la corde d'une courbe arbitraire et à droite la corde d'un cercle. Source: Wikimedia Commons.

Dans la circonférence, son diamètre est particulièrement intéressant, également connu sous le nom de corde majeure. C'est une corde qui contient toujours le centre de la circonférence et mesure deux fois le rayon.

La figure suivante montre le rayon, le diamètre, une corde et aussi l'arc d'une circonférence. Identifier correctement chacun est important lors de la résolution de problèmes.

Figure 2. Éléments de la circonférence. Source: Wikimedia Commons.

Longueur de corde d'un cercle

Nous pouvons calculer la longueur de la corde dans un cercle à partir des figures 3a et 3b. Notez qu'un triangle est toujours formé avec deux côtés égaux (isocèles): les segments OA et OB, qui mesurent R, le rayon de la circonférence. Le troisième côté du triangle est le segment AB, appelé C, qui est précisément la longueur de la corde.

Il faut tracer une droite perpendiculaire à la corde C pour couper en deux l'angle θ qui existe entre les deux rayons et dont le sommet est le centre O de la circonférence. Il s'agit d'un angle central - car son sommet est le centre - et la ligne bissectrice est également une sécante à la circonférence.

Immédiatement deux triangles rectangles sont formés, dont l'hypoténuse mesure R. Depuis la bissectrice, et avec elle le diamètre, divise la corde en deux parties égales, il s'avère que l'une des jambes est la moitié de C, comme indiqué dans Figure 3b.

À partir de la définition du sinus d'un angle:

sin (θ / 2) = jambe opposée / hypoténuse = (C / 2) / R

Donc:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Figure 3. Le triangle formé par deux rayons et une corde de circonférence est isocèle (figure 3), car il a deux côtés égaux. La bissectrice la divise en deux triangles rectangles (figure 3b). Source: préparé par F. Zapata.

Théorème des cordes

Le théorème des cordes va comme ceci:

La figure suivante montre deux accords de même circonférence: AB et CD, qui se croisent au point P. Dans l'accord AB, les segments AP et PB sont définis, tandis que dans l'accord CD CP et PD sont définis. Donc, selon le théorème:

AP. PB = CP. P.S.

Figure 4. Le théorème d'accord d'un cercle. Source: F. Zapata.

Exercices résolus de cordes

- Exercice 1

Un cercle a une corde de 48 cm, qui est à 7 cm du centre. Calculez l'aire du cercle et le périmètre de la circonférence.

Solution

Pour calculer l'aire du cercle A, il suffit de connaître le rayon de la circonférence au carré, puisqu'il est vrai:

A = π.R ²

Maintenant, la figure qui est formée avec les données fournies est un triangle rectangle, dont les jambes mesurent respectivement 7 et 24 cm.

Figure 5. Géométrie pour l'exercice résolu 1. Source: F. Zapata.

Par conséquent, pour trouver la valeur de R ², le théorème de Pythagore c ² = a ² + b ² est appliqué directement, puisque R est l'hypoténuse du triangle:

R ² = (7 cm) ² + (24 cm) ² = 625 cm ²

La zone demandée est donc:

A = π. 625 cm ² = 1963,5 cm ²

Concernant le périmètre ou la longueur L de la circonférence, il est calculé par:

L = 2π. R

Substituer les valeurs:

R = √625 cm ² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- Exercice 2

Déterminez la longueur de la corde d'un cercle dont l'équation est:

x ² + y ² - 6x - 14y -111 = 0

Les coordonnées du milieu de la corde sont connues pour être P (17/2; 7/2).

Solution

Le milieu de la corde P n'appartient pas à la circonférence, mais les extrémités de la corde le font. Le problème peut être résolu en utilisant le théorème des cordes précédemment énoncé, mais il convient tout d'abord d'écrire l'équation de la circonférence sous forme canonique, pour déterminer son rayon R et son centre O.

Étape 1: obtenir l'équation canonique de la circonférence

L'équation canonique du cercle de centre (h, k) est:

(xh) ² + (yk) ² = R ²

Pour l'obtenir, vous devez remplir des carrés:

(x ² - 6x) + (y ² - 14y) -111 = 0

Notez que 6x = 2. (3x) et 14y = 2. (7y), de sorte que l'expression précédente est réécrite comme ceci, en restant inchangée:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ²) + (y ² - 14y + 7 ² -7 ²) -111 = 0

Et maintenant, en vous rappelant la définition du produit remarquable (ab) ² = a ² - 2ab + b ^2, vous pouvez écrire:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

La circonférence a le centre (3,7) et le rayon R = √169 = 13. La figure suivante montre le graphique de la circonférence et les accords qui seront utilisés dans le théorème:

Figure 6. Graphique de la circonférence de l'exercice résolu 2. Source: F. Zapata utilisant la calculatrice graphique en ligne Mathway.

Étape 2: déterminer les segments à utiliser dans le théorème des cordes

Les segments à utiliser sont les chaînes CD et AB, selon la figure 6, les deux sont coupés au point P, donc:

CP. PD = AP. PB

Nous allons maintenant trouver la distance entre les points O et P, car cela nous donnera la longueur du segment OP. Si nous ajoutons le rayon à cette longueur, nous aurons le segment CP.

La distance d _OP entre deux points de coordonnées (x ₁, y ₁) et (x ₂, y ₂) est:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁) ² + (y ₂ - y ₁) ² = (3 à 17/2) ² + (7 à 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

Avec tous les résultats obtenus, plus le graphique, nous construisons la liste suivante de segments (voir figure 6):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = longueur de l'accord

Remplacer dans le théorème des cordes:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= PA ²

253/2 = PA ²

PA = √ (253/2)

La longueur de la chaîne est 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Le lecteur pourrait-il résoudre le problème d'une autre manière?

Références

1. Baldor, A. 2004. Géométrie plane et spatiale avec trigonométrie. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. C-K12. Longueur d'un accord. Récupéré de: ck12.org.
3. Escobar, J. La circonférence. Récupéré de: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Récupéré de: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipédia. Corde (géométrie). Récupéré de: es.wikipedia.org.