QUADRILATÈRE: ÉLÉMENTS, PROPRIÉTÉS, CLASSIFICATION, EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2025

Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés et quatre sommets. Ses côtés opposés sont ceux qui n'ont pas de sommets en commun, tandis que les côtés consécutifs sont ceux qui ont un sommet commun.

Dans un quadrilatère, les angles adjacents partagent un côté, tandis que les angles opposés n'ont pas de côtés en commun. Une autre caractéristique importante d'un quadrilatère est que la somme de ses quatre angles internes est le double de l'angle plan, c'est-à-dire 360º ou 2π radians.

Figure 1. Divers quadrilatères. Source: F. Zapata.

Les diagonales sont les segments qui joignent un sommet avec son opposé et dans un quadrilatère donné, une seule diagonale peut être dessinée à partir de chaque sommet. Le nombre total de diagonales dans un quadrilatère est de deux.

Les quadrilatères sont des figures connues de l'humanité depuis l'Antiquité. Les archives archéologiques, ainsi que les constructions qui survivent aujourd'hui, en témoignent.

De même, aujourd'hui, les quadrilatères continuent d'avoir une présence importante dans la vie quotidienne de chacun. Le lecteur peut trouver ce formulaire sur l'écran dans lequel le texte est lu en ce moment même, sur les fenêtres, les portes, les pièces automobiles et d'innombrables autres endroits.

Classification quadrilatérale

Selon le parallélisme des côtés opposés, les quadrilatères sont classés comme suit:

1. Trapèze, lorsqu'il n'y a pas de parallélisme et que le quadrilatère est convexe.
2. Trapèze, lorsqu'il y a parallélisme entre une seule paire de côtés opposés.
3. Parallélogramme, lorsque ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Figure 2. Classification et sous-classification des quadrilatères. Source: Wikimedia Commons.

Types de parallélogramme

À leur tour, les parallélogrammes peuvent être classés en fonction de leurs angles et de leurs côtés comme suit:

1. Le rectangle est le parallélogramme dont les quatre angles internes sont égaux. Les angles intérieurs d'un rectangle forment un angle droit (90 °).
2. Carré, c'est un rectangle avec ses quatre côtés d'égale mesure.
3. Rhombus est le parallélogramme avec ses quatre côtés égaux, mais des angles adjacents différents.
4. Rhomboïde, parallélogramme avec différents angles adjacents.

Trapèze

Le trapèze est un quadrilatère convexe à deux côtés parallèles.

Figure 3. Bases, côtés, hauteur et médiane d'un trapèze. Source: Wikimedia Commons.

- Dans un trapèze, les côtés parallèles sont appelés bases et les côtés non parallèles sont appelés latéraux.

- La hauteur d'un trapèze est la distance entre les deux bases, c'est-à-dire la longueur d'un segment dont les extrémités sont aux bases et perpendiculaires à celles-ci. Ce segment est également appelé une hauteur du trapèze.

- La médiane est le segment qui rejoint les milieux des latéraux. On peut montrer que la médiane est parallèle aux bases du trapèze et que sa longueur est égale au demi-somme des bases.

- L'aire d'un trapèze est sa hauteur multipliée par la demi-somme des bases:

Types de trapèzes

-Trapézoïde rectangulaire: c'est celui avec un côté perpendiculaire aux bases. Ce côté correspond également à la hauteur du trapèze.

-Trapèze isocèle: celui dont les côtés sont d'égale longueur. Dans un trapèze isocèle, les angles adjacents aux bases sont égaux.

-Trapèze calène: celui avec ses côtés de différentes longueurs. Ses angles opposés peuvent être l'un aigu et l'autre obtus, mais il peut aussi arriver que les deux soient obtus ou tous deux aigus.

Figure 4. Types de trapèze. Source: F. Zapata.

Parallélogramme

Le parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux et les angles adjacents sont supplémentaires, ou autrement dit, les angles adjacents totalisent 180 °.

Si un parallélogramme a un angle droit, tous les autres angles le seront également et la figure résultante est appelée un rectangle. Mais si le rectangle a également ses côtés adjacents de la même longueur, alors tous ses côtés sont égaux et la figure résultante est un carré.

Figure 5. Parallélogrammes. Le rectangle, le carré et le losange sont des parallélogrammes. Source: F. Zapata.

Lorsqu'un parallélogramme a deux côtés adjacents de la même longueur, tous ses côtés seront de la même longueur et la figure résultante est un losange.

La hauteur d'un parallélogramme est un segment avec des extrémités sur ses côtés opposés et perpendiculaires à eux.

Aire d'un parallélogramme

L'aire d'un parallélogramme est le produit de la base par sa hauteur, la base étant un côté perpendiculaire à la hauteur (figure 6).

Diagonales d'un parallélogramme

Le carré de la diagonale qui part d'un sommet est égal à la somme des carrés des deux côtés adjacents audit sommet plus le double produit de ces côtés par le cosinus de l'angle de ce sommet:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

Figure 6. Parallélogramme. Angles opposés, hauteur, diagonales. Source: F. Zapata.

Le carré de la diagonale opposée au sommet d'un parallélogramme est égal à la somme des carrés des deux côtés adjacents audit sommet et en soustrayant le produit double de ces côtés par le cosinus de l'angle de ce sommet:

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

Loi des parallélogrammes

Dans tout parallélogramme, la somme des carrés de ses côtés est égale à la somme des carrés des diagonales:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

Le rectangle est un quadrilatère avec ses côtés opposés parallèles deux à deux et qui a également un angle droit. En d'autres termes, le rectangle est un type de parallélogramme à angle droit. Puisqu'il s'agit d'un parallélogramme, le rectangle a des côtés opposés de longueur égale a = c et b = d.

Mais comme dans tout parallélogramme les angles adjacents sont supplémentaires et les angles opposés égaux, dans le rectangle parce qu'il a un angle droit, il formera nécessairement des angles droits dans les trois autres angles. En d'autres termes, dans un rectangle, tous les angles internes mesurent 90º ou π / 2 radians.

Diagonales d'un rectangle

Dans un rectangle, les diagonales sont de longueur égale, comme cela sera démontré ci-dessous. Le raisonnement est le suivant; Un rectangle est un parallélogramme avec tous ses angles droits et hérite donc de toutes les propriétés du parallélogramme, y compris la formule qui donne la longueur des diagonales:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

avec α = 90º

Puisque Cos (90º) = 0, alors il arrive que:

f ² = g ² = a ² + d ²

Autrement dit, f = g, et donc les longueurs f et g des deux diagonales du rectangle sont égales et leur longueur est donnée par:

De plus, si dans un rectangle avec les côtés adjacents a et b un côté est pris comme base, l'autre côté sera en hauteur et par conséquent l'aire du rectangle sera:

Aire du rectangle = ax b.

Le périmètre est la somme de tous les côtés du rectangle, mais comme les opposés sont égaux, il s'ensuit que pour un rectangle de côtés a et b, le périmètre est donné par la formule suivante:

Périmètre du rectangle = 2 (a + b)

Figure 7. Rectangle avec les côtés a et b. Les diagonales f et g sont de longueur égale. Source: F. Zapata.

Carré

Le carré est un rectangle avec ses côtés adjacents de la même longueur. Si le carré a un côté a, alors ses diagonales f et g ont la même longueur, qui est f = g = (√2) a.

L'aire d'un carré est son côté carré:

Aire d'un carré = a ²

Le périmètre d'un carré est deux fois le côté:

Périmètre d'un carré = 4 a

Figure 8. Carré avec le côté a, indiquant sa superficie, son périmètre et la longueur de ses diagonales. Source: F. Zapata.

diamant

Le losange est un parallélogramme avec ses côtés adjacents de la même longueur, mais puisque dans un parallélogramme les côtés opposés sont égaux, tous les côtés d'un losange sont égaux en longueur.

Les diagonales d'un losange sont de longueur différente, mais elles se coupent à angle droit.

Figure 9. Rhombus du côté a, indiquant sa superficie, son périmètre et la longueur de ses diagonales. Source: F. Zapata.

Exemples

Exemple 1

Montrez que dans un quadrilatère (non croisé) les angles internes totalisent 360 °.

Figure 10: On montre comment la somme des angles d'un quadrilatère s'élève à 360 °. Source: F. Zapata.

Un quadrilatère ABCD est considéré (voir figure 10) et la diagonale BD est dessinée. Deux triangles ABD et BCD sont formés. La somme des angles intérieurs du triangle ABD est:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

Et la somme des angles internes du triangle BCD est:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

En ajoutant les deux équations, nous obtenons:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Regroupement:

α + (β ₁ + β ₂) + (δ ₁ + δ ₂) + γ = 2 * 180º

En regroupant et en renommant, on montre enfin que:

α + β + δ + γ = 360º

Exemple 2

Montrer que la médiane d'un trapèze est parallèle à ses bases et que sa longueur est le demi-total des bases.

Figure 11. MN médian du trapèze ABCD. Source: F. Zapata.

La médiane d'un trapèze est le segment qui rejoint les milieux de ses côtés, c'est-à-dire les côtés non parallèles. Dans le trapèze ABCD représenté sur la figure 11, la médiane est MN.

Puisque M est le point médian de AD et N est le point médian de BC, les ratios AM / AD et BN / BC sont égaux.

Autrement dit, AM est proportionnel à BN dans la même proportion que AD l'est à BC, donc les conditions d'application du théorème (réciproque) de Thales sont données, qui stipule ce qui suit:

«Si les segments proportionnels sont déterminés en trois lignes ou plus coupées par deux sécantes, alors ces lignes sont toutes parallèles.

Dans notre cas, on en conclut que les lignes MN, AB et DC sont parallèles entre elles, donc:

"La médiane d'un trapèze est parallèle à ses bases."

Maintenant, le théorème de Thales sera appliqué:

"Un ensemble de parallèles coupés par deux sécantes ou plus détermine des segments proportionnels."

Dans notre cas AD = 2 AM, AC = 2 AO, donc le triangle DAC est similaire au triangle MAO, et par conséquent DC = 2 MO.

Un argument similaire permet d'affirmer que CAB est similaire à CON, où CA = 2 CO et CB = 2 CN. Il s'ensuit immédiatement que AB = 2 ON.

En bref, AB = 2 ON et DC = 2 MO. Ainsi, lors de l'ajout, nous avons:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Enfin MN est effacé:

MN = (AB + DC) / 2

Et on en conclut que la médiane d'un trapèze mesure la demi-somme des bases, ou en d'autres termes: la médiane mesure la somme des bases, divisée par deux.

Exemple 3

Montrez que dans un losange, les diagonales se croisent à angle droit.

Figure 12. Rhombus et démonstration que ses diagonales se croisent à angle droit. Source: F. Zapata.

Le tableau noir de la figure 12 montre la construction nécessaire. Tout d'abord, le parallélogramme ABCD est dessiné avec AB = BC, c'est-à-dire un losange. Les diagonales AC et DB déterminent huit angles indiqués sur la figure.

En utilisant le théorème (aip) qui stipule que des angles intérieurs alternés entre des parallèles coupés par une sécante déterminent des angles égaux, nous pouvons établir ce qui suit:

α ₁ = γ ₁, α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ et δ2 = β2. (*)

D'autre part, comme les côtés adjacents d'un losange sont de longueur égale, quatre triangles isocèles sont déterminés:

DAB, BCD, CDA et ABC

Maintenant, le théorème du triangle (isocèle) est invoqué, qui déclare que les angles adjacents à la base sont de mesure égale, d'où il est conclu que:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁, α2 = γ ₁ et α ₁ = γ2 (**)

Si les relations (*) et (**) sont combinées, l'égalité d'angles suivante est atteinte:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ d'une part et β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 d'autre part.

En rappelant le théorème des triangles égaux qui stipule que deux triangles de même côté entre deux angles égaux sont égaux, nous avons:

AOD = AOB et par conséquent aussi les angles ∡AOD = ∡AOB.

Alors ∡AOD + ∡AOB = 180º, mais comme les deux angles sont de mesure égale, nous avons 2 ∡AOD = 180º ce qui implique que ∡AOD = 90º.

Autrement dit, il est montré géométriquement que les diagonales d'un losange se coupent à angle droit.

Exercices résolus

- Exercice 1

Montrer que dans un trapèze droit, les angles non droits sont complémentaires.

Solution

Figure 13. Trapèze droit. Source: F. Zapata.

Le trapèze ABCD est construit avec des bases AB et DC parallèles. L'angle intérieur du sommet A est juste (il mesure 90º), nous avons donc un trapèze droit.

Les angles α et δ sont des angles internes entre deux parallèles AB et DC, donc ils sont égaux, c'est-à-dire δ = α = 90º.

D'autre part, il a été montré que la somme des angles internes d'un quadrilatère s'élève à 360 °, soit:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Ce qui précède conduit à:

β + δ = 180 °

Confirmant ce que l'on voulait montrer, que les angles β et δ sont complémentaires.

- Exercice 2

Un parallélogramme ABCD a AB = 2 cm et AD = 1 cm, en plus l'angle BAD est de 30º. Déterminez l'aire de ce parallélogramme et la longueur de ses deux diagonales.

Solution

L'aire d'un parallélogramme est le produit de la longueur de sa base et de sa hauteur. Dans ce cas, la longueur du segment b = AB = 2 cm sera prise comme base, l'autre côté a la longueur a = AD = 1 cm et la hauteur h sera calculée comme suit:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Donc: Aire = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ².

Références

1. CEA (2003). Éléments de géométrie: avec exercices et géométrie de la boussole. Université de Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Mathématiques 2. Grupo Editorial Patria.
3. Libéré, K. (2007). Découvrez les polygones. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Polygones généralisés. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Mathématiques Premier semestre Tacaná. IGER.
6. Géométrie Jr. (2014). Polygones. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren et Hornsby. (2006). Mathématiques: raisonnement et applications (dixième édition). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Mathématiques 5. Progreso éditorial.
9. Wikipédia. Quadrilatères. Récupéré de: es.wikipedia.com