COMBIEN DE SOLUTIONS UNE ÉQUATION QUADRATIQUE A-T-ELLE? - MATEMATIQUES - 2025

Une équation quadratique ou une équation quadratique peut avoir zéro, une ou deux solutions réelles, en fonction des coefficients qui apparaissent dans ladite équation.

Si vous travaillez sur des nombres complexes, vous pouvez dire que chaque équation quadratique a deux solutions.

Pour commencer, une équation quadratique est une équation de la forme ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des nombres réels et x est une variable.

On dit que x1 est une solution de l'équation quadratique précédente si le remplacement de x par x1 satisfait l'équation, c'est-à-dire si a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Si, par exemple, nous avons l'équation x²-4x + 4 = 0, alors x1 = 2 est une solution puisque (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Au contraire, si on substitue x2 = 0 on obtient (0) ²-4 (0) + 4 = 4 et puisque 4 ≠ 0 alors x2 = 0 n'est pas une solution de l'équation quadratique.

Solutions d'une équation quadratique

Le nombre de solutions d'une équation quadratique peut être séparé en deux cas qui sont:

une.-

Lorsque vous travaillez avec des nombres réels, les équations quadratiques peuvent avoir:

-Solutions nulles: c'est-à-dire qu'il n'y a pas de nombre réel qui satisfait l'équation quadratique. Par exemple, l'équation étant donnée l'équation x² + 1 = 0, il n'y a pas de tel nombre réel qui satisfait ladite équation, puisque les deux x² est supérieur ou égal à zéro et 1 est strictement supérieur à zéro, donc leur somme sera plus grande strict que zéro.

-Une solution répétée: il y a une seule valeur réelle qui satisfait l'équation quadratique. Par exemple, la seule solution à l'équation x²-4x + 4 = 0 est x1 = 2.

-Deux solutions différentes: il y a deux valeurs qui satisfont l'équation quadratique. Par exemple, x² + x-2 = 0 a deux solutions différentes qui sont x1 = 1 et x2 = -2.

2.- En nombres complexes

Lorsque vous travaillez avec des nombres complexes, les équations quadratiques ont toujours deux solutions qui sont z1 et z2 où z2 est le conjugué de z1. Ils peuvent également être classés en:

-Complexes: les solutions sont de la forme z = p ± qi, où p et q sont des nombres réels. Ce cas correspond au premier cas de la liste précédente.

- Complexes purs: c'est lorsque la partie réelle de la solution est égale à zéro, c'est-à-dire que la solution a la forme z = ± qi, où q est un nombre réel. Ce cas correspond au premier cas de la liste précédente.

-Complexes avec une partie imaginaire égale à zéro: c'est lorsque la partie complexe de la solution est égale à zéro, c'est-à-dire que la solution est un nombre réel. Ce cas correspond aux deux derniers cas de la liste précédente.

Comment trouve-t-on les solutions d'une équation quadratique?

Pour calculer les solutions d'une équation quadratique, une formule connue sous le nom de «résolvante» est utilisée, qui dit que les solutions d'une équation ax² + bx + c = 0 sont données par l'expression dans l'image suivante:

La quantité qui apparaît dans la racine carrée est appelée le discriminant de l'équation quadratique et est désignée par la lettre «d».

L'équation quadratique aura:

-Deux solutions réelles si, et seulement si, d> 0.

-Une solution réelle répétée si, et seulement si, d = 0.

-Zéro solutions réelles (ou deux solutions complexes) si, et seulement si, d <0.

Exemples:

-Les solutions de l'équation x² + x-2 = 0 sont données par:

-L'équation x²-4x + 4 = 0 a une solution répétée qui est donnée par:

-Les solutions de l'équation x² + 1 = 0 sont données par:

Comme on peut le voir dans ce dernier exemple, x2 est le conjugué de x1.

Références

1. Fuentes, A. (2016). MATHÉMATIQUES DE BASE. Une introduction au calcul. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Mathématiques: équations quadratiques.: Comment résoudre une équation quadratique. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF et Paul, RS (2003). Mathématiques pour la gestion et l'économie. Pearson Education.
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