Pour savoir ce qu'est la racine carrée de 3, il est important de connaître la définition de la racine carrée d'un nombre.
Étant donné un nombre positif "a", la racine carrée de "a", notée √a, est un nombre positif "b" tel que lorsque "b" est multiplié par lui, le résultat est "a".
La définition mathématique dit: √a = b si, et seulement si, b² = b * b = a.
Par conséquent, pour savoir ce qu'est la racine carrée de 3, c'est-à-dire la valeur de √3, il faut trouver un nombre «b» tel que b² = b * b = √3.
De plus, √3 est un nombre irrationnel, il se compose donc d'un nombre infini de décimales non périodique. Pour cette raison, il est difficile de calculer manuellement la racine carrée de 3.
Racine carrée de 3
Si vous utilisez une calculatrice, vous pouvez voir que la racine carrée de 3 est 1,73205080756887…
Maintenant, vous pouvez essayer manuellement d'estimer ce nombre comme suit:
-1 * 1 = 1 et 2 * 2 = 4, cela signifie que la racine carrée de 3 est un nombre compris entre 1 et 2.
-1,7 * 1,7 = 2,89 et 1,8 * 1,8 = 3,24, donc la première décimale est 7.
-1,73 * 1,73 = 2,99 et 1,74 * 1,74 = 3,02, donc la deuxième décimale est 3.
-1,732 * 1,732 = 2,99 et 1,733 * 1,733 = 3,003, donc la troisième décimale est 2.
Et ainsi de suite, vous pouvez continuer. Il s'agit d'une méthode manuelle pour calculer la racine carrée de 3.
Il existe également d'autres techniques beaucoup plus avancées, comme la méthode Newton-Raphson, qui est une méthode numérique pour calculer des approximations.
Où peut-on trouver le nombre √3?
En raison de la complexité du nombre, on pourrait penser qu'il n'apparaît pas dans les objets du quotidien, mais c'est faux. Si nous avons un cube (boîte carrée), tel que la longueur de ses côtés est de 1, alors les diagonales du cube auront une mesure de √3.
Pour vérifier cela, on utilise le théorème de Pythagore, qui dit: étant donné un triangle rectangle, l'hypoténuse au carré est égale à la somme des carrés des jambes (c² = a² + b²).
En ayant un cube de côté 1, on a que la diagonale du carré de sa base est égale à la somme des carrés des jambes, soit c² = 1² + 1² = 2, donc la diagonale de la base mesure √2.
Maintenant, pour calculer la diagonale du cube, on peut observer la figure suivante.
Le nouveau triangle rectangle a des jambes de longueurs 1 et √2, donc, en utilisant le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de sa diagonale, on obtient: C² = 1² + (√2) ² = 1 + 2 = 3, soit disons, C = √3.
Ainsi, la longueur de la diagonale d'un cube de côté 1 est égale à √3.
√3 un nombre irrationnel
Au début, on disait que √3 est un nombre irrationnel. Pour vérifier cela, on suppose par l'absurdité qu'il s'agit d'un nombre rationnel, avec lequel il y a deux nombres «a» et «b», premiers relatifs, tels que a / b = √3.
En mettant au carré la dernière égalité et en résolvant "a²", l'équation suivante est obtenue: a² = 3 * b². Cela dit que «a²» est un multiple de 3, ce qui conduit à la conclusion que «a» est un multiple de 3.
Puisque "a" est un multiple de 3, il existe un entier "k" tel que a = 3 * k. Par conséquent, en remplaçant dans la seconde équation, on obtient: (3 * k) ² = 9 * k² = 3 * b², ce qui équivaut à b² = 3 * k².
Comme précédemment, cette dernière égalité conduit à la conclusion que «b» est un multiple de 3.
En conclusion, «a» et «b» sont tous deux des multiples de 3, ce qui est une contradiction, puisqu'ils étaient à l'origine supposés être des nombres premiers relatifs.
Par conséquent, √3 est un nombre irrationnel.
Références
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