CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ: CE QU'ILS SONT, À QUOI ILS SERVENT ET RÈGLES - MATEMATIQUES - 2025

Les critères de divisibilité sont des arguments théoriques utilisés pour déterminer si un nombre entier est divisible par un autre nombre entier. Les divisions devant être exactes, ce critère ne s'applique qu'à l'ensemble des entiers Z. Par exemple, le chiffre 123 est divisible par trois, selon le critère de divisibilité de 3, qui sera précisé ultérieurement.

Une division est dite exacte si son reste est égal à zéro, le reste étant la valeur différentielle obtenue dans la méthode traditionnelle de division manuelle. Si le reste est différent de zéro, la division est inexacte et le chiffre résultant doit être exprimé avec des valeurs décimales.

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À quoi servent les critères de divisibilité?

Sa plus grande utilité est établie avant une division manuelle traditionnelle, où il est nécessaire de savoir si un nombre entier sera obtenu après avoir effectué ladite division.

Ils sont courants dans l'obtention de racines par la méthode Ruffini et d'autres procédures liées à l'affacturage. Il s'agit d'un outil populaire pour les étudiants qui, pour des raisons pédagogiques, ne sont pas encore autorisés à utiliser des calculatrices ou des outils de calcul numériques.

Règles les plus courantes

Il existe des critères de divisibilité pour de nombreux nombres entiers, qui sont principalement utilisés pour travailler avec des nombres premiers. Cependant, ils peuvent également être appliqués avec d'autres types de nombres. Certains de ces critères sont définis ci-dessous.

Critère de divisibilité d'un "1"

Il n'y a pas de critère de divisibilité spécifique pour le numéro un. Il suffit d'établir que tout entier est divisible par un. C'est parce que chaque nombre multiplié par un reste inchangé.

Critère de divisibilité de deux "2"

On affirme qu'un nombre est divisible par deux si son dernier chiffre ou nombre faisant référence aux unités, est zéro ou pair.

Les exemples suivants sont observés:

234: Il est divisible par 2 car il se termine par 4, qui est un chiffre pair.

2035: Il n'est pas divisible par 2 car 5 n'est pas pair.

1200: il est divisible par 2 car son dernier chiffre est zéro.

Critère de divisibilité de trois "3"

Un chiffre sera divisible par trois si la somme de ses chiffres séparés est égale à un multiple de trois.

123: Il est divisible par trois, puisque la somme de ses termes 1 + 2 + 3 = 6 = 3 x 2

451: Il n'est pas divisible par 3, ce qui est vérifié en vérifiant que 4 + 5 +1 = 10, ce n'est pas un multiple de trois.

Critère de divisibilité de quatre "4"

Pour déterminer si un nombre est un multiple de quatre, vous devez vérifier que ses deux derniers chiffres sont 00 ou un multiple de quatre.

3822: En observant ses deux derniers chiffres "22", il est détaillé qu'ils ne sont pas un multiple de quatre, donc le chiffre n'est pas divisible par 4.

644: Nous savons que 44 = 4 x 11, donc 644 est divisible par quatre.

3200: Comme ses derniers chiffres sont 00, il est conclu que le chiffre est divisible par quatre.

Critère de divisibilité de cinq "5"

Il est assez intuitif que le critère de divisibilité de cinq soit que son dernier chiffre soit égal à cinq ou zéro. Puisque dans le tableau de cinq, on observe que tous les résultats se terminent par l'un de ces deux nombres.

350, 155 et 1605 sont selon ce critère des chiffres divisibles par cinq.

Critère de divisibilité des six "6"

Pour qu'un nombre soit divisible par six, il doit être vrai qu'il est divisible en même temps entre 2 et 3. Cela a du sens, car la décomposition de 6 est égale à 2 × 3.

Pour vérifier la divisibilité par six, les critères de 2 et 3 sont analysés séparément.

468: En terminant par un nombre pair, il répond au critère de divisibilité par 2. En additionnant séparément les chiffres qui composent le chiffre, on obtient 4 + 6 + 8 = 18 = 3 x 6. Le critère de divisibilité de 3 est satisfait. Par conséquent, 468 est divisible par six.

622: Son nombre pair correspondant aux unités indique qu'il est divisible par 2. Mais en additionnant ses chiffres séparément 6 + 2 + 2 = 10, ce qui n'est pas un multiple de 3. On vérifie ainsi que 622 n'est pas divisible par six.

Critère de divisibilité de sept "7"

Pour ce critère, le nombre complet doit être séparé en 2 parties; unités et reste du nombre. Le critère de divisibilité par sept sera que la soustraction entre le nombre sans les unités et deux fois les unités est égale à zéro ou à un multiple de sept.

Ceci est mieux compris par des exemples.

133: Le nombre sans les est 13 et le double de ceux est 3 × 2 = 6. De cette manière, nous procédons à la soustraction. 13 - 6 = 7 = 7 × 1. Cela garantit que 133 est divisible par 7.

8435: On effectue une soustraction de 843 - 10 = 833. Notant que 833 est encore trop grand pour déterminer la divisibilité, le processus est appliqué une fois de plus. 83 - 6 = 77 = 7 x 11. Ainsi, 8435 est divisible par sept.

Critère de divisibilité de huit "8"

Il doit être vrai que les trois derniers chiffres du nombre sont 000 ou un multiple de 8.

3456 et 73000 sont divisibles par huit.

Critère de divisibilité du neuf "9"

De la même manière que le critère de divisibilité de trois, il faut vérifier que la somme de ses chiffres séparés est égale à un multiple de neuf.

3438: Lorsque la somme est faite, on obtient 3 + 4 + 3 + 8 = 18 = 9 x 2. On vérifie ainsi que 3438 est divisible par neuf.

1451: Addition des chiffres séparément, 1 + 4 + 5 + 1 = 11. Comme ce n'est pas un multiple de neuf, on vérifie que 1451 n'est pas divisible par neuf.

Critère de divisibilité de dix "10"

Seuls les nombres se terminant par zéro seront divisibles par dix.

20, 1000 et 2030 sont divisibles par dix.

Critère de divisibilité de onze "11"

C'est l'un des plus complexes, mais travailler dans l'ordre garantit une vérification facile. Pour qu'un chiffre soit divisible par onze, il faut s'assurer que la somme des chiffres en position paire, moins la somme des chiffres en position impaire est égale à zéro ou à un multiple de onze.

39,369: La somme des chiffres pairs sera 9 + 6 = 15. Et la somme des chiffres en position impaire est 3 + 3 + 9 = 15. De cette façon, en soustrayant 15 - 15 = 0, on vérifie que 39 369 est divisible par onze.

Références

1. Critères de divisibilité. NN Vorobyov. Université de Chicago Press, 1980
2. Théorie élémentaire des nombres en neuf chapitres. James J. Tattersall. Cambridge University Press, 14 octobre 1999
3. Histoire de la théorie des nombres: divisibilité et primalité. Leonard Eugene Dickson. Chelsea Pub. Co., 1971
4. Divisibilité par 2 puissances de certains nombres de classes quadratiques. Peter Stevenhagen. Université d'Amsterdam, Département de mathématiques et d'informatique, 1991
5. Arithmétique élémentaire. Enzo R. Gentile. Secrétariat général de l'Organisation des États américains, Programme régional de développement scientifique et technologique, 1985