CONSTANTE DE PROPORTIONNALITÉ: QU'EST-CE QUE C'EST, CALCUL, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2024

La constante de proportionnalité est un élément numérique relationnel, utilisé pour définir le modèle de similitude entre 2 quantités qui sont modifiées simultanément. Il est très courant de la représenter comme une fonction linéaire de manière générique en utilisant l'expression F (X) = kX, mais ce n'est pas la seule représentation d'une possible proportionnalité.

Par exemple, la relation entre X et Y dans la fonction Y = 3x a une constante de proportionnalité égale à 3. On observe que lorsque la variable indépendante X croît, la variable dépendante Y augmente également, à trois fois sa valeur précédent.

Les modifications appliquées à une variable ont des répercussions immédiates sur l'autre, de sorte qu'il existe une valeur connue sous le nom de constante de proportionnalité. Cela sert à relier les différentes grandeurs acquises par les deux variables.

Quelle est la constante de proportionnalité et de types

Selon l'évolution de l'évolution des variables, les proportionnalités peuvent être classées en 2 types.

Proportionnalité directe

Suggère une relation unidirectionnelle entre deux quantités. Dans ce document, si la variable indépendante montre une certaine croissance, la variable dépendante augmentera également. De même, toute diminution de la variable indépendante entraînera une diminution de l'amplitude de Y.

Par exemple, la fonction linéaire utilisée dans l'introduction; Y = 3X, correspond à une relation directe de proportionnalité. En effet, l'augmentation de la variable indépendante X entraînera une triple augmentation de la valeur précédente prise par la variable dépendante Y.

De même, la variable dépendante diminuera trois fois sa valeur lorsque X diminuera en amplitude.

La valeur de la constante de proportionnalité "K" dans une relation directe est définie comme K = Y / X.

Proportionnalité inverse ou indirecte

Dans ce type de fonctions, la relation entre les variables est présentée de manière antonyme, où la croissance ou la diminution de la variable indépendante correspond respectivement à la diminution ou à la croissance de la variable dépendante.

Par exemple, la fonction F (x) = k / x est une relation inverse ou indirecte. Puisque la valeur de la variable indépendante commence à augmenter, la valeur de k sera divisée par un nombre croissant, provoquant une diminution de la valeur de la variable dépendante en fonction de la proportion.

Selon la valeur prise par K, la tendance de la fonction proportionnelle inverse peut être définie. Si k> 0, alors la fonction sera décroissante sur tous les nombres réels. Et votre graphique sera dans le 1er et le 3ème quadrant.

Au contraire, si la valeur de K est négative ou inférieure à zéro, la fonction sera croissante et son graphe se trouvera dans les 2ème et 4ème quadrants.

Comment est-il calculé?

Il existe différents contextes où la définition de la constante de proportionnalité peut être requise. Dans les différents cas, différentes données sur le problème seront montrées, où l'étude de celles-ci donnera finalement la valeur de K.

De manière générique, ce qui précède peut être récapitulé. Les valeurs de K correspondent à deux expressions selon le type de proportionnalité présent:

- Direct: K = Y / X

- Inverse ou indirect: K = YX

Selon son graphique

Parfois, le graphique d'une fonction ne sera que partiellement ou complètement connu. Dans ces cas, il sera nécessaire, par analyse graphique, de déterminer le type de proportionnalité. Ensuite, il faudra définir une coordonnée qui permet de vérifier les valeurs de X et Y à appliquer à la formule correspondante de K.

Les graphiques faisant référence aux proportionnalités directes sont linéaires. En revanche, les graphiques de fonctions proportionnelles inverses prennent généralement la forme d'hyperboles.

Selon table de valeurs

Dans certains cas, il existe un tableau de valeurs avec les valeurs correspondant à chaque itération de la variable indépendante. Habituellement, cela implique de faire le graphique en plus de définir la valeur de K.

Selon l'expression analytique

Renvoie l'expression qui définit la fonction de manière analytique. La valeur de K peut être résolue directement, ou elle peut également être déduite de l'expression elle-même.

Par règle directe ou composée de trois

Dans d'autres modèles d'exercice, certaines données sont présentées, qui se réfèrent à la relation entre les valeurs. Cela oblige à appliquer la règle directe ou composée de trois pour définir les autres données requises dans l'exercice.

L'histoire

Le concept de proportionnalité a toujours existé. Non seulement dans l'esprit et le travail des grands mathématiciens, mais dans la vie quotidienne de la population, en raison de son caractère pratique et de son applicabilité.

Il est très courant de trouver des situations qui nécessitent une approche de proportionnalité. Celles-ci sont présentées dans chaque cas où il est nécessaire de comparer des variables et des phénomènes qui ont certaines relations.

Grâce à une chronologie, nous pouvons caractériser les moments historiques, dans lesquels les progrès mathématiques concernant la proportionnalité ont été appliqués.

- IIe siècle avant JC Le système de stockage des fractions et des proportions est adopté en Grèce.

- Ve siècle avant JC La proportion qui relie le côté et la diagonale d'un carré est également découverte en Grèce.

- 600 avant JC Thales de Milet présente son théorème sur la proportionnalité.

- Année 900. Le système décimal utilisé auparavant par l'Inde est élargi en ratios et en proportions. Contribution faite par les Arabes.

- XVII siècle. Les contributions concernant les proportions arrivent dans le calcul d'Euler.

- XIXème siècle. Gauss apporte le concept de nombre complexe et de proportion.

- XXe siècle. La proportionnalité en tant que modèle de fonction est définie par Azcarate et Deulofeo.

Exercices résolus

Exercice 1

Il est nécessaire de calculer la valeur des variables x, y, z et g. Connaître les relations proportionnelles suivantes:

3x + 2y - 6z + 8g = 1925

x / 3 = y / 8 = z / 3 = g / 5

Nous procédons à la définition des valeurs relatives de la constante de proportionnalité. Ceux-ci peuvent être obtenus à partir de la deuxième relation, où la valeur qui divise chaque variable indique une relation ou un rapport faisant référence à K.

X = 3k y = 2k z = 3k g = 5k

Les valeurs sont substituées dans la première expression, où le nouveau système sera évalué dans une seule variable k.

3 (3k) + 2 (2k) - 6 (3k) + 8 (5k) = 1925

9k + 4k -18k + 40k = 1925

35 000 = 1925

K = 1925/35 = 55

En utilisant cette valeur de la constante de proportionnalité, nous pouvons trouver le chiffre qui définit chacune des variables.

x = 3 (55) = 165 y = 2 (55) = 110

z = 3 (55) = 165 g = 5 (55) = 275

Exercice 2

Calculez la constante de proportionnalité et l'expression qui définit la fonction, compte tenu de son graphique.

Tout d'abord, le graphe est analysé, son caractère linéaire étant évident. Cela indique qu'il s'agit d'une fonction à proportionnalité directe et que la valeur de K sera obtenue par l'expression k = y / x

Ensuite, un point déterminable est choisi dans le graphe, c'est-à-dire un point où les coordonnées qui le composent peuvent être vus exactement.

Dans ce cas, le point (2, 4) est pris. D'où nous pouvons établir la relation suivante.

K = 4/2 = 2

L'expression est donc définie par la fonction y = kx, qui dans ce cas sera

F (x) = 2x

Références

1. Math pour l'électricité et l'électronique. Dr Arthur Kramer. Cengage Learning, 27 juillet 2012
2. Vision 2020: le rôle stratégique de la recherche opérationnelle. N. Ravichandran. Allied Publishers, 11 septembre 2005
3. Connaissance grammaticale et arithmétique du livre électronique de l'assistant administratif de l'État. MAD-Eduforma
4. Renforcement des mathématiques pour le soutien et la diversification des programmes: pour le soutien et la diversification des programmes. Mª Lourdes Lázaro Soto. Narcea Ediciones, 29 août. 2003
5. Gestion logistique et commerciale. Maria José Escudero Serrano. Ediciones Paraninfo, SA, 1 sept. 2013