CONGRUENCE: CHIFFRES CONGRUENTS, CRITÈRES, EXEMPLES, EXERCICES - MATEMATIQUES - 2024

La congruence de la géométrie dit que si deux figures planes ont la même forme et les mêmes dimensions, elles sont congruentes. Par exemple, deux segments sont congruents lorsque leurs longueurs sont égales. De même, les angles congruents ont la même mesure, même s'ils ne sont pas orientés de la même manière dans le plan.

Le terme «congruence» vient du latin congruentia, dont le sens est correspondance. Ainsi, deux figures congruentes correspondent exactement l'une à l'autre.

Figure 1. Les quadrilatères ABCD et A'B'C'D 'de la figure sont congruents: leurs côtés ont la même mesure, de même que leurs angles internes. Source: F. Zapata.

Par exemple, si nous superposons les deux quadrilatères dans l'image, nous constaterons qu'ils sont congruents, puisque la disposition de leurs côtés est identique et qu'ils mesurent la même chose.

En plaçant les quadrilatères ABCD et A'B'C'D 'l'un sur l'autre, les chiffres correspondront exactement. Les côtés coïncidents sont appelés côtés homologues ou correspondants et le symbole ≡ est utilisé pour exprimer la congruence. On peut donc dire que ABCD ≡ A'B'C'D '.

Critères de congruence

Les caractéristiques suivantes sont communes aux polygones congruents:

-La même forme et la même taille.

-Mesures identiques de leurs angles.

-La même mesure sur chacun de ses côtés.

Dans le cas où deux polygones en question sont réguliers, c'est-à-dire que tous les côtés et angles internes mesurent la même chose, la congruence est assurée lorsque l'une des conditions suivantes est remplie:

-Les côtés sont congruents

-Les apothèmes ont la même mesure

-Le rayon de chaque polygone mesure le même

L'apothème d'un polygone régulier est la distance entre le centre et l'un des côtés, tandis que le rayon correspond à la distance entre le centre et un sommet ou un coin de la figure.

Les critères de congruence sont fréquemment utilisés car de nombreuses pièces et pièces de toutes sortes sont produites en série et doivent avoir la même forme et les mêmes dimensions. De cette manière, ils peuvent être facilement remplacés si nécessaire, par exemple des écrous, des boulons, des feuilles ou des pavés au sol dans la rue.

Figure 2. Les pavés de la rue sont des figures congruentes, car leur forme et leurs dimensions sont exactement les mêmes, bien que leur orientation sur le sol puisse changer. Source: Pixabay.

Congruence, identité et similitude

Il existe des concepts géométriques liés à la congruence, par exemple des figures identiques et des figures similaires, qui n'impliquent pas nécessairement que les figures sont congruentes.

Notez que les figures congruentes sont identiques, cependant les quadrilatères de la figure 1 pourraient être orientés de différentes manières sur le plan et rester toujours congruents, puisque l'orientation différente ne change pas la taille de leurs côtés ou de leurs angles. Dans ce cas, ils ne seraient plus identiques.

L'autre concept est celui de la similitude des figures: deux figures planes sont similaires si elles ont la même forme et leurs angles internes mesurent les mêmes, bien que la taille des figures puisse être différente. Si tel est le cas, les chiffres ne sont pas congruents.

Exemples de congruence

- Congruence des angles

Comme nous l'avons indiqué au début, les angles congruents ont la même mesure. Il existe plusieurs façons d'obtenir des angles congruents:

Exemple 1

Deux lignes avec un point commun définissent deux angles, appelés angles opposés en raison du sommet. Ces angles ont la même mesure, donc ils sont congruents.

Figure 3. Angles opposés par le sommet. Source: Wikimedia Commons.

Exemple 2

Il y a deux droites parallèles plus une ligne t qui les coupe. Comme dans l'exemple précédent, lorsque cette ligne coupe les parallèles, elle génère des angles congruents, un sur chaque ligne du côté droit et deux autres du côté gauche. La figure montre α et α ₁, à droite de la ligne t, qui sont congruentes.

Figure 4. Les angles indiqués sur la figure sont congruents. Source: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Exemple 3

Dans un parallélogramme, il y a quatre angles intérieurs, qui sont congruents de deux à deux. Ce sont ceux entre les sommets opposés, comme le montre la figure suivante, dans laquelle les deux angles en vert sont congruents, ainsi que les deux angles en rouge.

Figure 5. Les angles intérieurs du parallélogramme sont congruents deux par deux. Source: Wikimedia Commons.

- Congruence des triangles

Deux triangles de même forme et de même taille sont congruents. Pour vérifier cela, trois critères peuvent être examinés à la recherche de congruence:

- critère LLL: les trois côtés des triangles ont les mêmes mesures, donc L ₁ = L ' ₁; L ₂ = L ' ₂ et L ₃ = L' _3.

Figure 6. Exemple de triangles congruents, dont les côtés mesurent la même chose. Source: F. Zapata.

- Critères ALA et AAL: les triangles ont deux angles internes égaux et le côté entre ces angles a la même mesure.

Figure 7. Critères ALA et AAL pour la congruence triangulaire. Source: Wikimedia Commons.

- Critère LAL: deux des côtés sont identiques (correspondants) et il y a le même angle entre eux.

Figure 8. Critère LAL pour la congruence des triangles. Source: Wikimedia Commons.

Exercices résolus

- Exercice 1

Deux triangles sont représentés sur la figure suivante: ΔABC et ΔECF. On sait que AC = EF, que AB = 6 et que CF = 10. De plus, les angles ∡BAC et ∡FEC sont congruents et les angles ∡ACB et ∡FCB sont également congruents.

Figure 9. Triangles pour l'exemple travaillé 1. Source: F. Zapata.

Alors la longueur du segment BE est égale à:

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

Solution

Puisque les deux triangles ont un côté de longueur égale AC = EF entre les angles égaux ∡BAC = ∡CEF et ∡BCA = ∡CFE, on peut dire que les deux triangles sont congruents par le critère ALA.

Autrement dit, ΔBAC ≡ ΔCEF, nous devons donc:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Mais le segment à calculer est BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

La bonne réponse est donc (iii).

- Exercice 2

Trois triangles sont illustrés dans la figure ci-dessous. On sait également que les deux angles indiqués mesurent 80º chacun et que les segments AB = PD et AP = CD. Trouvez la valeur de l'angle X indiqué sur la figure.

Figure 10. Triangles pour l'exemple résolu 2. Source: F. Zapata.

Solution

Vous devez appliquer les propriétés des triangles, qui sont détaillées étape par étape.

Étape 1

En partant du critère de congruence du triangle LAL, on peut affirmer que les triangles BAP et PDC sont congruents:

ΔBAP ≡ ΔPDC

Étape 2

Ce qui précède conduit à affirmer que BP = PC, donc le triangle ΔBPC est isocèle et ∡PCB = ∡PBC = X.

Étape 3

Si nous appelons l'angle BPC γ, il s'ensuit que:

2x + γ = 180º

Étape 4

Et si l'on appelle les angles APB et DCP β et α les angles ABP et DPC, on a:

α + β + γ = 180º (puisque APB est un angle plan).

Étape 5

De plus, α + β + 80º = 180º par somme des angles internes du triangle APB.

Étape 6

En combinant toutes ces expressions, nous avons:

α + β = 100º

Étape 7

Et par conséquent:

γ = 80º.

Étape 8

Enfin, il s'ensuit que:

2X + 80 ° = 180 °

Avec X = 50º.

Références

1. Baldor, A. 1973. Géométrie plane et spatiale. Culture d'Amérique centrale.
2. Fondation CK-12. Polygones congruents. Récupéré de: ck 12.org.
3. Profitez des maths. Définitions: Rayon (polygone). Récupéré de: enjoylasmatematicas.com.
4. Référence ouverte mathématique. Test des polygones pour la congruence. Récupéré de: mathopenref.com.
5. Wikipédia. Congruence (géométrie). Récupéré de: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. Triangles, histoire, éléments, classification, propriétés. Récupéré de: lifeder.com.