CALCUL D'APPROXIMATIONS À L'AIDE DU DIFFÉRENTIEL - MATEMATIQUES - 2024

Une approximation en mathématiques est un nombre qui n'est pas la valeur exacte de quelque chose, mais qui en est si proche qu'il est considéré comme aussi utile que cette valeur exacte.

Lorsque des approximations sont faites en mathématiques, c'est parce que manuellement il est difficile (voire impossible) de connaître la valeur précise de ce que l'on veut.

L'outil principal lorsque l'on travaille avec des approximations est le différentiel d'une fonction.

La différentielle d'une fonction f, notée Δf (x), n'est rien d'autre que la dérivée de la fonction f fois la variation de la variable indépendante, c'est-à-dire Δf (x) = f '(x) * Δx.

Parfois, df et dx sont utilisés à la place de Δf et Δx.

Approximations utilisant le différentiel

La formule appliquée pour réaliser une approximation par le différentiel découle précisément de la définition de la dérivée d'une fonction comme limite.

Cette formule est donnée par:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

On comprend ici que Δx = x-x0, donc x = x0 + Δx. En utilisant cela, la formule peut être réécrite comme

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Il faut noter que "x0" n'est pas une valeur arbitraire, mais une valeur telle que f (x0) est facilement connue; de plus, "f (x)" est simplement la valeur que nous voulons approcher.

Y a-t-il de meilleures approximations?

La réponse est oui. Ce qui précède est la plus simple des approximations appelées «approximation linéaire».

Pour des approximations de meilleure qualité (l'erreur commise est moindre), des polynômes avec plus de dérivés appelés "polynômes de Taylor" sont utilisés, ainsi que d'autres méthodes numériques telles que la méthode de Newton-Raphson entre autres.

Stratégie

La stratégie à suivre est:

- Choisir une fonction f appropriée pour effectuer l'approximation et la valeur «x» telle que f (x) soit la valeur à approcher.

- Choisissez une valeur "x0", proche de "x", telle que f (x0) soit facile à calculer.

- Calculez Δx = x-x0.

- Calculer la dérivée de la fonction y f '(x0).

- Remplacez les données dans la formule.

Exercices d'approximation résolus

Dans ce qui continue, il y a une série d'exercices où des approximations sont faites en utilisant le différentiel.

Premier exercice

Environ √3.

Solution

Suite à la stratégie, une fonction appropriée doit être choisie. Dans ce cas, on voit que la fonction à choisir doit être f (x) = √x et la valeur à approcher est f (3) = √3.

Il faut maintenant choisir une valeur "x0" proche de "3" telle que f (x0) soit facile à calculer. Si "x0 = 2" est choisi, alors "x0" est proche de "3" mais f (x0) = f (2) = √2 n'est pas facile à calculer.

La valeur appropriée de "x0" est "4", car "4" est proche de "3" et également f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Si "x = 3" et "x0 = 4", alors Δx = 3-4 = -1. Nous procédons maintenant au calcul de la dérivée de f. Autrement dit, f '(x) = 1/2 * √x, donc f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

En remplaçant toutes les valeurs de la formule, vous obtenez:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Si vous utilisez une calculatrice, vous obtenez que √3≈1.73205… Cela montre que le résultat précédent est une bonne approximation de la valeur réelle.

Deuxième exercice

Environ √10.

Solution

Comme précédemment, f (x) = √xy est choisi comme fonction, dans ce cas x = 10.

La valeur de x0 à choisir cette fois est "x0 = 9". On a alors que Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 et f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Lors de l'évaluation dans la formule, on obtient que

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666…

En utilisant une calculatrice on obtient que √10 ≈ 3.1622776… Ici, on peut aussi voir qu'une bonne approximation a été obtenue auparavant.

Troisième exercice

Approximative ³√10, où ³√ désigne la racine cubique.

Solution

Il est clair que la fonction à utiliser dans cet exercice est f (x) = ³√x et la valeur de «x» doit être «10».

Une valeur proche de "10" telle que sa racine cubique est connue est "x0 = 8". Alors on a Δx = 10-8 = 2 et f (x0) = f (8) = 2. On a aussi f '(x) = 1/3 * ³√x², et par conséquent f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

En substituant les données dans la formule, on obtient que:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666….

Le calculateur dit que ³√10 ≈ 2,15443469… Par conséquent, l'approximation trouvée est bonne.

Quatrième exercice

Approximative ln (1.3), où "ln" désigne la fonction logarithmique naturelle.

Solution

Nous choisissons d'abord comme fonction f (x) = ln (x) et la valeur de "x" est 1,3. Maintenant, connaissant un peu la fonction logarithme, nous pouvons savoir que ln (1) = 0, et de plus "1" est proche de "1,3". Par conséquent, "x0 = 1" est choisi et donc Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Par contre f '(x) = 1 / x, de sorte que f' (1) = 1. Lors de l'évaluation dans la formule donnée, nous avons:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

En utilisant une calculatrice on a que ln (1.3) ≈ 0.262364… Donc l'approximation faite est bonne.

Références

1. Fleming, W. et Varberg, DE (1989). Mathématiques du précalcul. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. et Varberg, DE (1989). Mathématiques précalculeuses: une approche de résolution de problèmes (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W. et Varberg, D. (1991). Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 éd.). Apprentissage Cengage.
5. Leal, JM et Viloria, NG (2005). Géométrie analytique plane. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Précalcul. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., et Rigdon, SE (2007). Calculus (neuvième éd.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Calcul différentiel avec fonctions transcendantes précoces pour la science et l'ingénierie (deuxième édition éd.). Hypoténuse.
9. Scott, Californie (2009). Cartésian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (réimpression ed.). Source de foudre.
10. Sullivan, M. (1997). Précalcul. Pearson Education.