AXIOMES DE PROBABILITÉ: TYPES, EXPLICATIONS, EXEMPLES, EXERCICES - DUDAS - 2025

Les axiomes de probabilité sont des propositions mathématiques faisant référence à la théorie des probabilités, qui ne méritent pas de preuve. Les axiomes ont été établis en 1933 par le mathématicien russe Andrei Kolmogorov (1903-1987) dans ses Fondements de la théorie des probabilités et ont jeté les bases de l'étude mathématique de la probabilité.

Lors de la réalisation d'une certaine expérience aléatoire ξ, l'espace échantillon E est l'ensemble de tous les résultats possibles de l'expérience, également appelés événements. Tout événement est noté A et P (A) est la probabilité de son occurrence. Puis Kolmogorov a établi que:

Figure 1. Les axiomes de probabilité nous permettent de calculer la probabilité de jouer à des jeux de hasard comme la roulette. Source: Pixabay.

- Axiome 1 (non-négativité): la probabilité qu'un événement A se produise est toujours positive ou nulle, P (A) ≥0. Lorsque la probabilité d'un événement est de 0, on parle d'événement impossible.

- Axiome 2 (certitude): chaque fois qu'un événement appartient à E, sa probabilité d'occurrence est de 1, que nous pouvons exprimer par P (E) = 1. Ceci est connu comme un certain événement, car lors de la conduite d'une expérience, il y a certainement un résultat.

- Axiome 3 (addition): dans le cas de deux ou plusieurs événements incompatibles deux à deux, appelés A ₁, A ₂, A ₃…, la probabilité que l'événement A ₁ plus A ₂ plus A _{3 se} produise et ainsi de suite successivement, c'est la somme des probabilités que chacun se produise séparément.

Ceci est exprimé comme suit: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U…) = P (A ₁) + P (A ₂) + P (A ₃) +…

Figure 2. Le remarquable mathématicien russe Andrei Kolmogorov (1903-1987), qui a jeté les bases de la probabilité axiomatique. Source: Wikimedia Commons.

Exemple

Les axiomes de probabilité sont largement utilisés dans une multitude d'applications. Par exemple:

Une punaise ou une punaise est lancée en l'air, et lorsqu'elle tombe au sol, il est possible d'atterrir avec la pointe vers le haut (U) ou avec la pointe vers le bas (D) (nous n'envisagerons pas d'autres possibilités). L'espace échantillon pour cette expérience se compose de ces événements, alors E = {U, D}.

Figure 3. Dans l'expérience de lancer le virement, il y a deux événements de probabilités différentes: atterrissage avec la pointe vers le haut ou vers le sol. Source: Pixabay.

En appliquant les axiomes, nous avons:

S'il est également susceptible d'atterrir vers le haut ou vers le bas, P (U) = P (D) = ½ (Axiome 1). Cependant, la construction et la conception de la punaise peuvent la rendre plus susceptible de tomber d'une manière ou d'une autre. Par exemple, il se peut que P (U) = ¾ tandis que P (D) = ¼ (Axiome 1).

Notez que dans les deux cas, la somme des probabilités donne 1. Cependant, les axiomes n'indiquent pas comment attribuer les probabilités, du moins pas complètement. Mais ils déclarent qu'il s'agit de nombres compris entre 0 et 1 et que, comme dans ce cas, la somme de tous est 1.

Façons d'attribuer la probabilité

Les axiomes de probabilité ne sont pas une méthode d'attribution de la valeur de probabilité. Pour cela, trois options sont compatibles avec les axiomes:

La règle de Laplace

Chaque événement se voit attribuer la même probabilité de se produire, puis la probabilité d'occurrence est définie comme:

Par exemple, quelle est la probabilité de tirer un as d'un jeu de cartes françaises? Le jeu a 52 cartes, 13 de chaque couleur et il y a 4 couleurs. Chaque couleur a 1 as, donc au total il y a 4 as:

P (comme) = 4/52 = 1/13

La règle de Laplace est limitée aux espaces d'échantillons finis, où chaque événement est également probable.

Fréquence relative

Ici, l'expérience doit être répétable, car la méthode est basée sur la réalisation d'un grand nombre de répétitions.

Faisons i répétitions de l'expérience ξ, dont nous trouvons que n est le nombre de fois qu'un certain événement A se produit, alors la probabilité que cet événement se produise est:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Où n / i est la fréquence relative d'un événement.

Définir P (A) de cette manière satisfait les axiomes de Kolmogorov, mais présente l'inconvénient que de nombreux tests doivent être effectués pour que la probabilité soit appropriée.

Méthode subjective

Une personne ou un groupe de personnes peut convenir d'attribuer une probabilité à un événement, par son propre jugement. Cette méthode présente l'inconvénient que différentes personnes peuvent attribuer différentes probabilités au même événement.

Exercice résolu

Dans l'expérience de lancer simultanément 3 pièces honnêtes, obtenez les probabilités des événements décrits:

a) 2 têtes et une queue.

b) 1 tête et deux queues

c) 3 croix.

d) Au moins 1 visage.

Solution pour

Les têtes sont désignées par C et les queues par X. Mais il existe plusieurs façons d'obtenir deux têtes et une queue. Par exemple, les deux premières pièces peuvent atterrir des têtes et la troisième peut atterrir des queues. Ou le premier peut tomber des têtes, les deuxièmes queues et les troisièmes têtes. Et enfin le premier peut être des queues et les têtes restantes.

Pour répondre aux questions, il est nécessaire de connaître toutes les possibilités, qui sont décrites dans un outil appelé diagramme en arbre ou arbre de probabilité:

Figure 4. Diagramme arborescent pour le tirage simultané de trois pièces honnêtes. Source: F. Zapata.

La probabilité qu'une pièce soit face est de ½, il en va de même pour les queues, puisque la pièce est honnête. La colonne de droite répertorie toutes les possibilités offertes par le tirage au sort, c'est-à-dire l'espace échantillon.

A partir de l'espace échantillon, les combinaisons qui répondent à l'événement demandé sont choisies, car l'ordre dans lequel les faces apparaissent n'est pas important. Il y a trois événements favorables: CCX, CXC et XCC. La probabilité que chaque événement se produise est:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

La même chose se produit pour les événements CXC et XCC, chacun a une probabilité de 1/8 de se produire. Par conséquent, la probabilité d'obtenir exactement 2 têtes est la somme des probabilités de tous les événements favorables:

P (recto-verso) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Solution b

Trouver la probabilité qu'exactement deux croisements se produisent est un problème analogue au précédent, il existe également trois événements favorables pris dans l'espace d'échantillonnage: CXX, XCX et XXC. Donc:

P (2 croix) = 3/8 = 0,375

Solution c

Intuitivement, nous savons que la probabilité d'obtenir 3 queues (ou 3 têtes) est plus faible. Dans ce cas, l'événement recherché est XXX, à la fin de la colonne de droite, dont la probabilité est:

P (XXX) = ½. ½. 1/2 = 1/8 = 0,125.

Solution d

Il est demandé d'obtenir au moins 1 face, cela signifie que 3 faces, 2 faces ou 1 face peuvent sortir. Le seul événement incompatible avec cela est celui dans lequel 3 queues sortent, dont la probabilité est de 0,125. La probabilité recherchée est donc:

P (au moins 1 tête) = 1 - 0,125 = 0,875.

Références

1. Canavos, G. 1988. Probabilité et statistiques: applications et méthodes. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Probabilité et statistiques pour l'ingénierie et la science. 8ème. Édition. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Série Schaum: Probabilité. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Théorie des probabilités. Éditorial Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Probabilité et statistiques pour l'ingénierie et les sciences. Pearson.