ARC (GÉOMÉTRIE): MESURE, TYPES D'ARCS, EXEMPLES - MATEMATIQUES - 2024

L' arc, en géométrie, est une ligne courbe qui relie deux points. Une ligne courbe, contrairement à une ligne droite, est une ligne dont la direction est différente en chaque point. Le contraire d'un arc est un segment, car il s'agit d'une section droite qui joint deux points.

L'arc le plus fréquemment utilisé en géométrie est l'arc de circonférence. Les autres arcs couramment utilisés sont l'arc parabolique, l'arc elliptique et l'arc caténaire. La forme en arc est également fréquemment utilisée en architecture comme élément décoratif et élément structurel. C'est le cas des linteaux des portes et fenêtres, ainsi que des ponts et des aqueducs.

Figure 1. L'arc-en-ciel est une ligne courbe qui relie deux points à l'horizon. Source: Pixabay

L'arc et sa mesure

La mesure d'un arc est sa longueur, qui dépend du type de courbe qui relie les deux points et de leur emplacement.

La longueur d'un arc de cercle est l'une des plus simples à calculer, car la longueur de l'arc complet ou du périmètre d'une circonférence est connue.

Le périmètre d'un cercle est égal à deux pi fois son rayon: p = 2 π R. Sachant cela, si l'on veut calculer la longueur s d'un arc de cercle d'angle α (mesuré en radians) et de rayon R, une proportion est appliquée:

(s / p) = (α / 2 π)

Ensuite, en effaçant s de l'expression précédente et en substituant le périmètre p à son expression en fonction du rayon R, on a:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

Autrement dit, la mesure d'un arc de cercle est le produit de ses temps d'ouverture angulaires par le rayon de l'arc de cercle.

Pour un arc en général, le problème est plus compliqué, au point que les grands penseurs de l'antiquité prétendaient que c'était une tâche impossible.

Ce n'est qu'à l'avènement du calcul différentiel et intégral en 1665 que le problème de la mesure de n'importe quel arc fut résolu de manière satisfaisante.

Avant l'invention du calcul différentiel, les solutions ne pouvaient être trouvées qu'en utilisant des lignes polygonales ou des arcs de circonférence qui se rapprochaient du véritable arc, mais ces solutions n'étaient pas exactes.

Types d'arcs

Du point de vue de la géométrie, les arcs sont classés selon la ligne courbe qui relie deux points sur le plan. Il existe d'autres classifications selon son utilisation et sa forme architecturale.

Arc circulaire

Lorsque la ligne reliant deux points dans le plan est un morceau de circonférence d'un certain rayon, nous avons un arc de cercle. La figure 2 montre un arc de cercle c de rayon R reliant les points A et B.

Figure 2. Arc circulaire de rayon R qui relie les points A et B. Elaboré par Ricardo Pérez.

Arc parabolique

La parabole est le chemin suivi par un objet qui a été projeté obliquement en l'air. Lorsque la courbe qui joint deux points est une parabole, alors nous avons un arc parabolique comme celui illustré à la figure 3.

Figure 3. Arc parabolique reliant les points A et B. Elaboré par Ricardo Pérez.

C'est la forme du jet d'eau qui sort d'un tuyau pointant vers le haut. L'arc parabolique peut être observé dans les sources d'eau.

Figure 4. Arc parabolique formé par l'eau d'une fontaine à Dresde. Source: Pixabay.

Arc caténaire

L'arc caténaire est un autre arc naturel. La caténaire est la courbe qui se forme naturellement lorsqu'une chaîne ou une corde est suspendue de manière lâche à deux points distincts.

Figure 5. Arc caténaire et comparaison avec l'arc parabolique. Préparé par Ricardo Pérez.

La caténaire est similaire à la parabole, mais elle n'est pas exactement la même que celle illustrée à la figure 4.

L'arc caténaire inversé est utilisé en architecture comme élément structurel à haute résistance à la compression. En fait, il peut être démontré qu'il s'agit du type d'arc le plus solide parmi toutes les formes possibles.

Pour construire un arc caténaire solide, copiez simplement la forme d'une corde ou d'une chaîne suspendue, puis la forme copiée est retournée pour la reproduire sur le linteau de la porte ou de la fenêtre.

Arc elliptique

Un arc est elliptique si la courbe qui relie deux points est un morceau d'ellipse. L'ellipse est définie comme le lieu des points dont la distance à deux points donnés s'additionne toujours à une quantité constante.

L'ellipse est une courbe qui apparaît dans la nature: c'est la courbe de la trajectoire des planètes autour du Soleil, comme l'a démontré Johannes Kepler en 1609.

En pratique, une ellipse peut être dessinée en épinglant deux entretoises au sol ou deux broches dans un morceau de papier et en y attachant une ficelle. La corde est ensuite serrée avec le marqueur ou le crayon et la courbe est tracée. Un morceau d'ellipse est un arc elliptique. L'animation suivante illustre la façon dont l'ellipse est dessinée:

Figure 5. Tracer une ellipse à l'aide d'une corde tendue. Source: Wikimedia Commons

La figure 6 montre un arc elliptique reliant les points G et H.

Figure 6. Arc elliptique reliant deux points. Préparé par Ricardo Pérez.

Exemples d'arcs

Les exemples suivants indiquent comment calculer le périmètre de certaines arches spécifiques.

Exemple 1

La figure 7 montre une fenêtre terminée en un arc de cercle coupé. Les dimensions indiquées sur la figure sont en pieds. Trouvez la longueur de l'arc.

Figure 7. Calcul de la longueur de l'arc de cercle d'une fenêtre. (Propres annotations - image de la fenêtre sur Pixabay)

Pour obtenir le centre et le rayon de l'arc de cercle du linteau de fenêtre, les constructions suivantes sont faites sur l'image:

-Le segment KL est dessiné et sa bissectrice est dessinée.

-Ensuite, le point le plus élevé du linteau est localisé, que nous appelons M. Ensuite, le segment KM est considéré et sa médiatrice est tracée.

L'intersection des deux bissectrices est le point N et c'est aussi le centre de l'arc de cercle.

-Maintenant, nous devons mesurer la longueur du segment NM, qui coïncide avec le rayon R de l'arc de cercle: R = 2,8 pieds.

-Pour connaître la longueur de l'arc en plus du rayon, il faut connaître l'angle que forme l'arc. Qui peut être déterminé par deux méthodes, soit il est mesuré avec un rapporteur, soit il est calculé en utilisant la trigonométrie.

Dans le cas illustré, l'angle formé par l'arc est de 91,13 °, qui doit être converti en radians:

91,13 ° = 91,13 ° * π / 180 ° = 1,59 radians

Enfin, nous calculons la longueur s de l'arc en utilisant la formule s = α R.

s = 1,59 * 2,8 pieds = 4,45 pieds

Exemple 2

Trouvez la longueur de l'arc elliptique illustré à la figure 8, en connaissant le demi-grand axe r et le demi-petit axe s de l'ellipse.

Figure 8. Arc elliptique entre GH. Préparé par Ricardo Pérez.

Trouver la longueur d'une ellipse a longtemps été l'un des problèmes les plus difficiles en mathématiques. Vous pouvez obtenir des solutions exprimées par des intégrales elliptiques, mais pour avoir une valeur numérique, vous devez étendre ces intégrales en séries de puissance. Un résultat exact exigerait des termes infinis de ces séries.

Heureusement, le génie mathématique hindou Ramanujan, qui a vécu entre 1887 et 1920, a trouvé une formule qui se rapproche très précisément du périmètre d'une ellipse:

Le périmètre d'une ellipse avec r = 3 cm et s = 2,24 cm est de 16,55 cm. Cependant, l'arc elliptique montré a la moitié de cette valeur:

Longueur de l'arc elliptique GH = 8,28 cm.

Références

1. Clemens S. 2008. Géométrie et trigonométrie. Pearson Education.
2. García F. Procédures numériques en Java. Longueur d'une ellipse. Récupéré de: sc.ehu.es
3. Géométrie dynamique. Des arcs. Récupéré de geometriadinamica.es
4. Piziadas. Ellipses et paraboles autour de nous. Récupéré de: piziadas.com
5. Wikipédia. Arch (géométrie). Récupéré de: es.wikipedia.com