GRÉEMENT FACTORIEL: DÉFINITION, FORMULES ET EXERCICES - PHYSIQUE - 2024

La plate - forme factorielle est une machine simple qui consiste en un agencement de poulies avec un effet multiplicateur de la force. De cette manière, une charge peut être soulevée en n'appliquant que l'équivalent d'une fraction du poids à l'extrémité libre du câble.

Il se compose de deux jeux de poulies: un fixé sur un support et un autre qui exerce la force résultante sur la charge. Les poulies sont montées sur un châssis généralement métallique qui les supporte.

Figure 1. Schéma d'un rig factoriel. Source: Pixabay

La figure 1 montre une plate-forme factorielle composée de deux groupes de deux poulies chacun. Ces types d'arrangements de poulies sont également appelés palans ou palans série.

Formules pour le gréement factoriel

Cas 1: un mobile et une poulie fixe

Pour comprendre pourquoi cet agencement multiplie la force exercée, nous commencerons par le cas le plus simple, qui consiste en une poulie fixe et une poulie mobile.

Figure 2. Gréement à deux poulies.

Sur la figure 2, nous avons une poulie A fixée au plafond au moyen d'un support. La poulie A peut tourner librement autour de son axe. Nous avons également une poulie B qui a un support attaché à l'arbre de poulie, sur lequel la charge est placée. La poulie B, en plus de pouvoir tourner librement autour de son axe, a la possibilité de se déplacer verticalement.

Supposons que nous soyons dans une situation d'équilibre. Considérons les forces agissant sur la poulie B. L'axe de la poulie B supporte un poids total P dirigé vers le bas. Si c'était la seule force exercée sur la poulie B, elle tomberait, mais nous savons que la corde qui passe à travers cette poulie exerce également deux forces, qui sont T1 et T2 qui sont dirigées vers le haut.

Pour qu'il y ait équilibre de translation, les deux forces ascendantes doivent être égales au poids supporté par l'axe de la poulie B.

T1 + T2 = P

Mais comme la poulie B est également en équilibre de rotation, alors T1 = T2. Les forces T1 et T2 proviennent de la tension appliquée à la corde, appelée T.

Donc T1 = T2 = T.En substituant dans l'équation précédente, il reste:

T + T = P

2T = P

Ce qui indique que la tension appliquée à la corde ne représente que la moitié du poids:

T = P / 2

Par exemple, si la charge était de 100 kg, il suffirait d'appliquer une force de 50 kg à l'extrémité libre du câble pour soulever la charge à vitesse constante.

Cas 2: Deux poulies mobiles et deux fixes

Considérons maintenant les efforts et efforts agissant sur un ensemble constitué de deux agencements de supports A et B avec deux poulies chacun.

Figure 3. Forces sur un gréement avec 2 poulies fixes et 2 poulies mobiles.

Le support B a la possibilité de se déplacer verticalement, et les forces agissant sur lui sont:

- Le poids P de la charge, pointé verticalement vers le bas.

- Deux tensions sur la grande poulie et deux tensions sur la petite poulie. Au total, quatre tensions, toutes dirigées vers le haut.

Pour qu'il y ait équilibre de translation, les forces pointant verticalement vers le haut doivent égaler la charge pointant vers le bas en valeur. Autrement dit, il doit être rempli:

T + T + T + T = P

Autrement dit, 4 T = P

D'où il s'ensuit que la force appliquée T à l'extrémité libre du câble ne représente qu'un quart du poids dû à la charge qui veut être soulevée., T = P / 4.

Avec cette valeur pour la tension T, la charge peut être maintenue statique ou augmenter à vitesse constante. Si une tension supérieure à cette valeur était appliquée, la charge accélérerait vers le haut, condition nécessaire pour la sortir du repos.

Cas général: n poulies mobiles et n poulies fixes

Selon ce qui a été vu dans les cas précédents, pour chaque poulie de l'ensemble mobile, il y a un couple de forces ascendantes exercées par la corde qui traverse la poulie. Mais cette force ne peut être autre chose que la tension appliquée à la corde à l'extrémité libre.

De sorte que pour chaque poulie de l'ensemble mobile il y aura une force verticale ascendante qui vaut 2T. Mais comme il y a n poulies dans l'ensemble mobile, il s'ensuit que la force totale pointant verticalement vers le haut est:

2 n T

Pour qu'il y ait équilibre vertical, il faut que:

2 n T = P

donc la force appliquée à l'extrémité libre est:

T = P / (2 n)

Dans ce cas, on peut dire que la force T exercée est multipliée 2 n fois sur la charge.

Par exemple, si nous avions un gréement factoriel avec 3 poulies fixes et 3 poulies mobiles, le nombre n serait égal à 3. Par contre, si la charge était P = 120 kg, alors la force appliquée à l'extrémité libre serait T = 120 kg / (2 * 3) = 20 kg.

Exercices résolus

Exercice 1

Considérons une plate-forme factorielle composée de deux poulies fixes et de deux poulies mobiles. La tension maximale que la corde peut supporter est de 60 kg. Déterminez quelle est la charge maximale qui peut être placée.

Solution

Lorsque la charge est au repos ou se déplace à vitesse constante, son poids P est lié à la tension T appliquée au câble au moyen de la relation suivante:

P = 2 n T

Comme il s'agit d'un gréement avec deux poulies mobiles et deux poulies fixes, alors n = 2.

La charge maximale pouvant être placée est obtenue lorsque T a la valeur maximale possible, qui dans ce cas est de 60 kg.

Charge maximale = 2 * 2 * 60 kg = 240 kg

Exercice 2

Trouvez la relation entre la tension du câble et le poids de la charge, dans un gréement factoriel à deux poulies dans lequel la charge est accélérée avec l'accélération a.

Solution

La différence de cet exemple par rapport à ce qui a été vu jusqu'à présent est que la dynamique du système doit être considérée. Nous proposons donc la deuxième loi de Newton pour trouver la relation demandée.

Figure 4. Dynamique du rig factoriel.

Sur la figure 4, nous dessinons en jaune les forces dues à la tension T de la corde. La partie mobile du palan a une masse totale M. On prend comme repère une au niveau de la première poulie fixe et positive vers le bas.

Y1 est la position de l'arbre de poulie le plus bas.

Nous appliquons la deuxième loi de Newton pour déterminer l'accélération a1 de la partie mobile du gréement:

-4 T + Mg = M a1

Puisque le poids de la charge est P = Mg, où g est l'accélération de la pesanteur, la relation ci-dessus peut s'écrire:

-4T + P = P (a1 / g)

Si nous voulions déterminer la tension appliquée à la corde lorsqu'une certaine charge de poids P est accélérée avec l'accélération a1, alors la relation précédente ressemblerait à ceci:

T = P (1 - a1 / g) / 4

Notez que si le système était au repos ou se déplaçait à vitesse constante, alors a1 = 0, et nous retrouverions la même expression que nous avons obtenue dans le cas 2.

Exercice 3

Dans cet exemple, le même gréement de l'exercice 1 est utilisé, avec la même corde qui supporte un maximum de 60 kg de tension. Une certaine charge monte, l'accélérant du repos à 1 m / s en 0,5 s, en utilisant la tension maximale de la corde. Trouvez le poids maximum de la charge.

Solution

Nous utiliserons les expressions obtenues dans l'exercice 2 et le système de référence de la figure 4 dans lequel la direction positive est verticale vers le bas.

L'accélération de la charge est a1 = (-1 m / s - 0 m / s) / 0,5 s = -2 m / s ^ 2.

Le poids de la charge en kilogramme-force est donné par

P = 4 T / (1 - a1 / g)

P = 4 * 60 kg / (1 + 2 / 9,8) = 199,3 kg

Il s'agit du poids maximum possible de la charge sans rupture de câble. On notera que la valeur obtenue est inférieure à celle obtenue dans l'exemple 1, dans lequel la charge était supposée avoir une accélération nulle, c'est-à-dire au repos ou à vitesse constante.

Références

1. Sears, Zemansky. 2016. Physique universitaire et physique moderne. 14e. Ed. Volume 1. 101-120.
2. Resnick, R. (1999). Physique. Vol. 1. 3e éd. En espagnol. Compañía Editorial Continental SA de CV 87-103.
3. Giancoli, D. 2006. Physique: principes et applications. 6e. Ed. Prentice Hall. 72 - 96.
4. Hewitt, Paul. 2012. Science physique conceptuelle. 5ème. Ed. Pearson, 38-61.
5. Serway, R., Jewett, J. (2008). Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 1. 7e. Ed. Cengage Learning. 100-119.