CONTEXTE HISTORIQUE DE LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE - MATEMATIQUES - 2025

Les antécédents historiques de la géométrie analytique remontent au XVIIe siècle, lorsque Pierre de Fermat et René Descartes ont défini son idée fondamentale. Son invention fait suite à la modernisation de l'algèbre et de la notation algébrique de François Viète.

Ce domaine a ses bases dans la Grèce antique, en particulier dans les travaux d'Apollonius et d'Euclide, qui ont eu une grande influence dans ce domaine des mathématiques.

L'idée essentielle de la géométrie analytique est qu'une relation entre deux variables, telle que l'une est fonction de l'autre, définit une courbe.

Cette idée a d'abord été développée par Pierre de Fermat. Grâce à ce cadre essentiel, Isaac Newton et Gottfried Leibniz ont pu développer le calcul.

Le philosophe français Descartes a également découvert une approche algébrique de la géométrie, apparemment tout seul. Le travail de Descartes sur la géométrie apparaît dans son célèbre livre Discours on Method.

Ce livre souligne que la boussole et les constructions géométriques de bord droit impliquent l'addition, la soustraction, la multiplication et les racines carrées.

La géométrie analytique représente l'union de deux traditions importantes en mathématiques: la géométrie en tant qu'étude de la forme, et l'arithmétique et l'algèbre, qui ont à voir avec la quantité ou les nombres. Par conséquent, la géométrie analytique est l'étude du domaine de la géométrie à l'aide de systèmes de coordonnées.

L'histoire

Contexte de la géométrie analytique

La relation entre la géométrie et l'algèbre a évolué tout au long de l'histoire des mathématiques, bien que la géométrie ait atteint un stade plus précoce de maturité.

Par exemple, le mathématicien grec Euclide a pu organiser de nombreux résultats dans son livre classique The Elements.

Mais c'est le grec ancien Apollonius de Perga qui a prédit le développement de la géométrie analytique dans son livre Conics. Il a défini une conique comme l'intersection entre un cône et un plan.

En utilisant les résultats d'Euclide sur des triangles similaires et des sécantes de cercles, il a trouvé une relation donnée par les distances de tout point "P" d'une conique à deux droites perpendiculaires, le grand axe d'une conique et la tangente à un point final de l'axe. Apollonius a utilisé cette relation pour déduire les propriétés fondamentales des coniques.

Le développement ultérieur des systèmes de coordonnées en mathématiques n'est apparu qu'après la maturation de l'algèbre grâce aux mathématiciens islamiques et indiens.

Jusqu'à la Renaissance, la géométrie était utilisée pour justifier des solutions à des problèmes algébriques, mais l'algèbre ne pouvait pas beaucoup contribuer à la géométrie.

Cette situation allait changer avec l'adoption d'une notation pratique pour les relations algébriques et le développement du concept de fonction mathématique, ce qui était désormais possible.

Siècle XVI

À la fin du XVIe siècle, le mathématicien français François Viète introduit la première notation algébrique systématique, utilisant des lettres pour représenter des quantités numériques, connues et inconnues.

Il a également développé de puissantes méthodes générales pour travailler des expressions algébriques et résoudre des équations algébriques.

Grâce à cela, les mathématiciens n'étaient pas complètement dépendants des figures géométriques et de l'intuition géométrique pour résoudre des problèmes.

Même certains mathématiciens ont commencé à abandonner le mode de pensée géométrique standard, selon lequel les variables linéaires de longueurs et de carrés correspondent à des aires, tandis que les variables cubiques correspondent à des volumes.

Les premiers à franchir cette étape furent le philosophe et mathématicien René Descartes, et l'avocat et mathématicien Pierre de Fermat.

Fondation de la géométrie analytique

Descartes et Fermat fondèrent indépendamment la géométrie analytique dans les années 1630, adoptant l'algèbre de Viète pour l'étude du locus.

Ces mathématiciens ont réalisé que l'algèbre était un outil puissant en géométrie et ont inventé ce que l'on appelle aujourd'hui la géométrie analytique.

Une percée qu'ils ont faite a été de surpasser Viète en utilisant des lettres pour représenter des distances variables plutôt que fixes.

Descartes a utilisé des équations pour étudier les courbes géométriquement définies et a souligné la nécessité de considérer les courbes algébriques-graphiques générales des équations polynomiales en degrés "x" et "y".

Pour sa part, Fermat a souligné que toute relation entre les coordonnées «x» et «y» détermine une courbe.

En utilisant ces idées, il a restructuré les déclarations d'Apollonius en termes algébriques et a restauré une partie de son travail perdu.

Fermat a indiqué que toute équation quadratique en "x" et "y" peut être placée sous la forme standard de l'une des sections coniques. Malgré cela, Fermat n'a jamais publié ses travaux sur le sujet.

Grâce à leurs avancées, ce qu'Archimède ne pouvait résoudre qu'avec beaucoup de difficulté et pour des cas isolés, Fermat et Descartes ont pu résoudre rapidement et pour un grand nombre de courbes (maintenant appelées courbes algébriques).

Mais ses idées n'ont été généralement acceptées que grâce aux efforts d'autres mathématiciens dans la seconde moitié du 17e siècle.

Les mathématiciens Frans van Schooten, Florimond de Beaune et Johan de Witt ont contribué à élargir le travail de Decartes et ont ajouté des éléments supplémentaires importants.

Influence

En Angleterre, John Wallis a popularisé la géométrie analytique. Il a utilisé des équations pour définir les coniques et en déduire leurs propriétés. Bien qu'il ait utilisé librement des coordonnées négatives, c'est Isaac Newton qui a utilisé deux axes obliques pour diviser le plan en quatre quadrants.

Newton et l'Allemand Gottfried Leibniz ont révolutionné les mathématiques à la fin du XVIIe siècle en démontrant indépendamment la puissance du calcul.

Newton a démontré l'importance des méthodes analytiques en géométrie et leur rôle dans le calcul en affirmant que tout cube (ou toute courbe algébrique du troisième degré) a trois ou quatre équations standard pour des axes de coordonnées appropriés. Avec l'aide de Newton lui-même, le mathématicien écossais John Stirling l'a prouvé en 1717.

Géométrie analytique de trois dimensions et plus

Bien que Descartes et Fermat aient suggéré d'utiliser trois coordonnées pour étudier les courbes et les surfaces dans l'espace, la géométrie analytique tridimensionnelle s'est développée lentement jusqu'en 1730.

Les mathématiciens Euler, Hermann et Clairaut ont produit des équations générales pour les cylindres, les cônes et les surfaces de révolution.

Par exemple, Euler a utilisé des équations pour les traductions dans l'espace pour transformer la surface quadratique générale de sorte que ses axes principaux coïncident avec ses axes de coordonnées.

Euler, Joseph-Louis Lagrange et Gaspard Monge ont rendu la géométrie analytique indépendante de la géométrie synthétique (non analytique).

Références

1. Le développement de la géométrie analytique (2001). Récupéré de encyclopedia.com
2. Histoire de la géométrie analytique (2015). Récupéré de maa.org
3. Analyse (mathématiques). Récupéré de britannica.com
4. Géométrie analytique. Récupéré de britannica.com
5. Descartes et la naissance de la géométrie analytique. Récupéré de sciencedirect.com