VITESSE ANGULAIRE MOYENNE: DÉFINITION ET FORMULES, EXERCICES RÉSOLUS - PHYSIQUE - 2024

La vitesse angulaire moyenne de rotation est définie comme l'angle de rotation par unité de temps du vecteur de position d'un point qui décrit le mouvement circulaire. Les pales d'un ventilateur de plafond (comme celui illustré à la figure 1), suivent un mouvement circulaire et leur vitesse angulaire moyenne de rotation est calculée en prenant le quotient entre l'angle de rotation et le temps que cet angle a parcouru.

Les règles suivies par le mouvement de rotation sont quelque peu similaires à celles connues pour le mouvement de translation. Les distances parcourues peuvent également être mesurées en mètres, cependant les grandeurs angulaires sont particulièrement pertinentes car elles facilitent grandement la description du mouvement.

Figure 1. Les pales du ventilateur ont une vitesse angulaire. Source: Pixabay

En général, les lettres grecques sont utilisées pour les quantités angulaires et les lettres latines pour les quantités linéaires correspondantes.

Définition et formules

Sur la figure 2, le mouvement d'un point sur une trajectoire circulaire c est représenté. La position P du point correspond à l'instant t et la position angulaire correspondant à cet instant est ϕ.

A partir de l'instant t, une période de temps Δt s'écoule. Pendant cette période, la nouvelle position du point est P 'et la position angulaire a augmenté d'un angle Δϕ.

Figure 2. Mouvement circulaire d'un point. Source: self made

La vitesse angulaire moyenne ω est l'angle parcouru par unité de temps, donc le quotient Δϕ / Δt représentera la vitesse angulaire moyenne entre les instants t et t + Δt:

L'angle étant mesuré en radians et le temps en secondes, l'unité de la vitesse angulaire moyenne est rad / s. Si nous voulons calculer la vitesse angulaire juste à l'instant t, alors nous devrons calculer le rapport Δϕ / Δt lorsque Δt ➡0.

Rotation uniforme

Un mouvement de rotation est uniforme si à tout instant observé, l'angle parcouru est le même dans la même période de temps. Si la rotation est uniforme, alors la vitesse angulaire à tout instant coïncide avec la vitesse angulaire moyenne.

Dans un mouvement de rotation uniforme, le temps pendant lequel un tour complet est effectué est appelé la période et est noté T.

De plus, lorsqu'un tour complet est effectué, l'angle parcouru est de 2π, donc dans une rotation uniforme la vitesse angulaire ω est liée à la période T, par la formule suivante:

La fréquence f d'une rotation uniforme est définie comme le quotient entre le nombre de tours et le temps utilisé pour les parcourir, c'est-à-dire que si N tours sont effectués dans la période de temps Δt alors la fréquence sera:

f = N / Δt

Puisqu'un tour (N = 1) est parcouru dans le temps T (la période), la relation suivante est obtenue:

f = 1 / T

Autrement dit, dans une rotation uniforme, la vitesse angulaire est liée à la fréquence à travers la relation:

ω = 2π ・ f

Relation entre la vitesse angulaire et la vitesse linéaire

La vitesse linéaire v, est le quotient entre la distance parcourue et le temps mis pour la parcourir. Sur la figure 2, la distance parcourue est la longueur de l'arc Δs.

L'arc Δs est proportionnel à l'angle parcouru Δϕ et au rayon r, la relation suivante étant remplie:

Δs = r ・ Δϕ

A condition que Δϕ soit mesuré en radians.

Si nous divisons l'expression précédente par le laps de temps Δt, nous obtiendrons:

(Δs / Δt) = r ・ (Δϕ / Δt)

Le quotient du premier membre est la vitesse linéaire et le quotient du second membre est la vitesse angulaire moyenne:

v = r ・ ω

Exercices résolus

-Exercice 1

Les pointes des pales du ventilateur de plafond représentées sur la figure 1 se déplacent à une vitesse de 5 m / s et les pales ont un rayon de 40 cm.

Avec ces données, calculez: i) la vitesse angulaire moyenne de la roue, ii) le nombre de tours que la roue effectue en une seconde, iii) la période en secondes.

Solution

i) La vitesse linéaire est v = 5 m / s.

Le rayon est r = 0,40 m.

À partir de la relation entre la vitesse linéaire et la vitesse angulaire, nous résolvons cette dernière:

v = r ・ ω => ω = v / r = (5 m / s) / (0,40 m) = 12,57 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (12,57 rad / s) / (2π rad) = 2 tour / s

iii) T = 1 / f = 1 / (2 tour / s) = 0,5 s pour chaque tour.

-Exercice 2

Une poussette jouet se déplace sur une piste circulaire d'un rayon de 2 m. A 0s sa position angulaire est 0 rad, mais après le temps t sa position angulaire est

φ (t) = 2 ・ t.

Avec ces données

i) Calculer la vitesse angulaire moyenne dans les intervalles de temps suivants;; et enfin dans le laps de temps.

ii) Sur la base des résultats de la partie i) Que peut-on dire du mouvement?

iii) Déterminer la vitesse linéaire moyenne dans la même période de temps à partir de la partie i)

iv) Trouvez la vitesse angulaire et la vitesse linéaire pour tout instant.

Solution

i) La vitesse angulaire moyenne est donnée par la formule suivante:

Nous procédons au calcul de l'angle parcouru et du temps écoulé dans chaque intervalle.

Intervalle 1: Δϕ = ϕ (0,5s) - ϕ (0,0s) = 2 (rad / s) * 0,5s - 2 (rad / s) * 0,0s = 1,0 rad

Δt = 0,5 s - 0,0 s = 0,5 s

ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s

Intervalle 2: Δϕ = ϕ (1.0s) - ϕ (0.5s) = 2 (rad / s) * 1.0s - 2 (rad / s) * 0.5s = 1.0 rad

Δt = 1,0 s - 0,5 s = 0,5 s

ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s

Intervalle 3: Δϕ = ϕ (1.5s) - ϕ (1.0s) = 2 (rad / s) * 1.5s - 2 (rad / s) * 1.0s = 1.0 rad

Δt = 1,5 s - 1,0 s = 0,5 s

ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5s = 2,0 rad / s

Intervalle 4: Δϕ = ϕ (1,5s) - ϕ (0,0s) = 2 (rad / s) * 1,5s - 2 (rad / s) * 0,0s = 3,0 rad

Δt = 1,5 s - 0,0 s = 1,5 s

ω = Δϕ / Δt = 3,0rad / 1,5s = 2,0 rad / s

ii) Au vu des résultats précédents, dans lesquels la vitesse angulaire moyenne était calculée à différents intervalles de temps, obtenant toujours le même résultat, cela semble indiquer qu'il s'agit d'un mouvement circulaire uniforme. Cependant, ces résultats ne sont pas concluants.

La façon de garantir la conclusion est de calculer la vitesse angulaire moyenne pour un intervalle arbitraire: Δϕ = ϕ (t ') - ϕ (t) = 2 * t' - 2 * t = 2 * (t'-t)

Δt = t '- t

ω = Δϕ / Δt = 2 * (t'-t) / (t'-t) = 2,0 rad / s

Cela signifie que la poussette jouet a une vitesse angulaire moyenne constante de 2 rad / s dans n'importe quelle période de temps considérée. Mais vous pouvez aller plus loin si vous calculez la vitesse angulaire instantanée:

Ceci est interprété comme le fait que la voiture miniature a à tout moment une vitesse angulaire constante = 2 rad / s.

Références

1. Giancoli, D. Physique. Principes avec applications. 6e édition. Prentice Hall. 30-45.
2. Kirkpatrick, L. 2007. Physique: un regard sur le monde. 6 ^ta Edition abrégée. Apprentissage Cengage. 117.
3. Resnick, R. (1999). Physique. Volume 1. Troisième édition en espagnol. Mexique. Compañía Editorial Continental SA de CV 33-52.
4. Serway, R., Jewett, J. (2008). Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 1. 7e. Édition. Mexique. Éditeurs d'apprentissage Cengage. 32-55.
5. Wikipédia. Vitesse angulaire. Récupéré de: wikipedia.com