VECTEURS NON COPLANAIRES: DÉFINITION, CONDITIONS, EXERCICES - PHYSIQUE - 2025

Les vecteurs non coplanaires sont ceux qui ne partagent pas le même plan. Deux vecteurs libres et un point définissent un seul plan. Un troisième vecteur peut ou non partager ce plan, et s'il ne le fait pas, ce sont des vecteurs non coplanaires.

Les vecteurs non coplanaires ne peuvent pas être représentés dans des espaces bidimensionnels comme un tableau noir ou une feuille de papier, car certains d'entre eux sont contenus dans la troisième dimension. Pour les représenter correctement, vous devez utiliser la perspective.

Figure 1. Vecteurs coplanaires et non coplanaires. (Élaboration propre)

Si on regarde la figure 1, tous les objets représentés sont strictement dans le plan de l'écran, cependant, grâce à la perspective, notre cerveau est capable d'imaginer un plan (P) en sortir.

Sur ce plan (P) se trouvent les vecteurs r, s, u, tandis que les vecteurs v et w ne sont pas dans ce plan.

Donc les vecteurs r, s, u sont coplanaires ou coplanaires entre eux puisqu'ils partagent le même plan (P). Les vecteurs v et w ne partagent un plan avec aucun des autres vecteurs représentés, ils sont donc non coplanaires.

Vecteurs coplanaires et équation du plan

Un plan est défini de manière unique s'il y a trois points dans un espace tridimensionnel.

Supposons que ces trois points soient le point A, le point B et le point C qui définissent le plan (P). Avec ces points il est possible de construire deux vecteurs AB = u et AC = v qui sont par construction coplanaires avec le plan (P).

Le produit croisé (ou produit croisé) de ces deux vecteurs conduit à un troisième vecteur perpendiculaire (ou normal) à eux et donc perpendiculaire au plan (P):

n = u X v => n ⊥ u et n ⊥ v => n ⊥ (P)

Tout autre point appartenant au plan (P) doit vérifier que le vecteur AQ est perpendiculaire au vecteur n; Cela revient à dire que le produit scalaire (ou produit scalaire) de n avec AQ doit être nul:

n • AQ = 0 (*)

La condition précédente équivaut à dire que:

AQ • (u X v) = 0

Cette équation garantit que le point Q appartient au plan (P).

Équation cartésienne du plan

L'équation ci-dessus peut être écrite sous forme cartésienne. Pour ce faire, nous écrivons les coordonnées des points A, Q et les composantes du vecteur normal n:

Ainsi, les composants d'AQ sont:

La condition pour que le vecteur AQ soit contenu dans le plan (P) est la condition (*) qui s'écrit maintenant comme ceci:

Le calcul du produit scalaire reste:

S'il est développé et réorganisé, il reste:

L'expression précédente est l'équation cartésienne d'un plan (P), en fonction des composantes d'un vecteur normal à (P) et des coordonnées d'un point A appartenant à (P).

Conditions pour que trois vecteurs soient non coplanaires

Comme vu dans la section précédente, la condition AQ • (u X v) = 0 garantit que le vecteur AQ est coplanaire à u et v.

Si nous appelons le vecteur AQ w alors nous pouvons affirmer que:

w, u et v sont coplanaires, si et seulement si w • (u X v) = 0.

Condition de non coplanarité

Si le triple produit (ou produit mixte) de trois vecteurs est différent de zéro, ces trois vecteurs sont non coplanaires.

Si w • (u X v) ≠ 0 alors les vecteurs u, v et w sont non coplanaires.

Si les composantes cartésiennes des vecteurs u, v et w sont introduites, la condition de non-coplanarité peut s'écrire comme ceci:

Le triple produit a une interprétation géométrique et représente le volume du parallélépipède généré par les trois vecteurs non coplanaires.

Figure 2. Trois vecteurs non coplanaires définissent un parallélépipède dont le volume est le module du triple produit. (Élaboration propre)

La raison en est la suivante; Lorsque deux des vecteurs non coplanaires sont multipliés de manière vectorielle, un vecteur est obtenu dont la magnitude est la surface du parallélogramme qu'ils génèrent.

Ensuite, lorsque ce vecteur est multiplié de manière scalaire par le troisième vecteur non coplanaire, ce que nous avons est la projection sur un vecteur perpendiculaire au plan que les deux premiers déterminent multipliée par l'aire qu'ils déterminent.

En d'autres termes, nous avons l'aire du parallélogramme générée par les deux premiers multipliée par la hauteur du troisième vecteur.

Condition alternative de non-coplanarité

Si vous avez trois vecteurs et qu'aucun d'entre eux ne peut être écrit comme une combinaison linéaire des deux autres, alors les trois vecteurs sont non coplanaires. Autrement dit, trois vecteurs u, v et w sont non coplanaires si la condition:

α u + β v + γ w = 0

Il n'est satisfait que lorsque α = 0, β = 0 et γ = 0.

Exercices résolus

-Exercice 1

Il y a trois vecteurs

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) et w = (-1, 2, z)

Notez que la composante z du vecteur w est inconnue.

Trouvez la plage de valeurs que z peut prendre pour que les trois vecteurs ne partagent pas le même plan.

Solution

w • (u X v) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Nous définissons cette expression égale à la valeur zéro

21 z + 18 = 0

et nous résolvons pour z

z = -18 / 21 = -6/7

Si la variable z prenait la valeur -6/7 alors les trois vecteurs seraient coplanaires.

Ainsi, les valeurs de z qui garantissent que les vecteurs ne sont pas coplanaires sont celles de l'intervalle suivant:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

-Exercice 2

Trouvez le volume du parallélépipède illustré dans la figure suivante:

Solution

Pour trouver le volume du parallélépipède représenté sur la figure, les composantes cartésiennes de trois vecteurs non coplanaires simultanés à l'origine du système de coordonnées seront déterminées. Le premier est le vecteur u de 4m et parallèle à l'axe X:

u = (4, 0, 0) m

Le second est le vecteur v dans le plan XY de taille 3m qui forme 60º avec l'axe X:

v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m

Et le troisième est le vecteur w de 5m et dont la projection dans le plan XY forme 60º avec l'axe X, de plus w forme 30º avec l'axe Z.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

Une fois les calculs effectués, on a: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

Références

1. Figueroa, D. Série: Physique pour les sciences et l'ingénierie. Volume 1. Cinématique. 31-68.
2. Physique. Module 8: Vecteurs. Récupéré de: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mécanique pour les ingénieurs. Statique 6e édition. Continental Publishing Company.28-66.
4. McLean, série W. Schaum. Mécanique pour les ingénieurs: statique et dynamique. 3e édition. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipédia. Vecteur. Récupéré de: es.wikipedia.org