VECTEUR NORMAL: CALCUL ET EXEMPLE - PHYSIQUE - 2025

Le vecteur normal est celui qui définit la direction perpendiculaire à une entité géométrique considérée, qui peut être par une courbe, un plan ou une surface, par exemple.

C'est un concept très utile dans le positionnement d'une particule en mouvement ou d'une surface dans l'espace. Dans le graphique suivant, il est possible de voir à quoi ressemble le vecteur normal d'une courbe arbitraire C:

Figure 1. Une courbe C avec le vecteur normal à la courbe au point P. Source: Svjo

Considérons un point P sur la courbe C. Le point peut représenter une particule en mouvement qui se déplace le long d'une trajectoire en forme de C. La ligne tangente à la courbe au point P est dessinée en rouge.

Notez que le vecteur T est tangent à C en chaque point, tandis que le vecteur N est perpendiculaire à T et pointe vers le centre d'un cercle imaginaire dont l'arc est un segment de C. Les vecteurs sont indiqués en gras dans le texte imprimé, pour les distinguer des autres quantités non vectorielles.

Le vecteur T indique toujours où la particule se déplace, donc il indique la vitesse de la particule. En revanche, le vecteur N pointe toujours dans la direction dans laquelle la particule tourne, il indique ainsi la concavité de la courbe C.

Comment amener le vecteur normal dans un avion?

Le vecteur normal n'est pas nécessairement un vecteur unitaire, c'est-à-dire un vecteur dont le module est 1, mais si tel est le cas, il est appelé vecteur unitaire normal.

Figure 2. A gauche un plan P et les deux vecteurs normaux audit plan. Sur la droite, les vecteurs unitaires dans les trois directions qui déterminent l'espace. Source: Wikimedia Commons. Voir la page pour l'auteur

Dans de nombreuses applications, il est nécessaire de connaître le vecteur normal à un plan plutôt qu'à une courbe. Ce vecteur révèle l'orientation dudit plan dans l'espace. Par exemple, considérons le plan P (jaune) de la figure:

Il existe deux vecteurs normaux à ce plan: n ₁ et n ₂. L'utilisation de l'un ou de l'autre dépendra du contexte dans lequel se trouve ledit plan. L'obtention du vecteur normal à un plan est très simple si l'équation du plan est connue:

Ici, le vecteur N est exprimé en termes de vecteurs unitaires perpendiculaires i, j et k, dirigés le long des trois directions qui déterminent l'espace xyz, voir figure 2 à droite.

Le vecteur normal du produit vectoriel

Une procédure très simple pour trouver le vecteur normal utilise les propriétés du produit vectoriel entre deux vecteurs.

Comme on le sait, trois points différents, non colinéaires entre eux, déterminent un plan P. Or, il est possible d'obtenir deux vecteurs u et v appartenant audit plan ayant ces trois points.

Une fois les vecteurs obtenus, le produit vectoriel u x v est une opération dont le résultat est à son tour un vecteur, qui a la propriété d'être perpendiculaire au plan déterminé par u et v.

Connu ce vecteur, il est noté N, et à partir de celui-ci il sera possible de déterminer l'équation du plan grâce à l'équation indiquée dans la section précédente:

N = u x v

La figure suivante illustre la procédure décrite:

Figure 3. Avec deux vecteurs et leur produit vectoriel ou croix, l'équation du plan contenant les deux vecteurs est déterminée. Source: Wikimedia Commons. Aucun auteur lisible par machine fourni. M.Romero Schmidtke a supposé (sur la base des revendications de droits d'auteur).

Exemple

Trouvez l'équation du plan déterminée par les points A (2,1,3); B (0,1,1); C (4.2.1).

Solution

Cet exercice illustre la procédure décrite ci-dessus. En ayant 3 points, l'un d'eux est choisi comme origine commune de deux vecteurs appartenant au plan défini par ces points. Par exemple, le point A est défini comme origine et les vecteurs AB et AC sont construits.

Le vecteur AB est le vecteur dont l'origine est le point A et dont le point final est le point B. Les coordonnées du vecteur AB sont déterminées en soustrayant respectivement les coordonnées de B des coordonnées de A:

On procède de la même manière pour trouver le vecteur AC:

Calcul du produit vectoriel

Il existe plusieurs procédures pour trouver le produit croisé entre deux vecteurs. Cet exemple utilise une procédure mnémotechnique qui utilise la figure suivante pour trouver les produits vectoriels entre les vecteurs unitaires i, j et k:

Figure 4. Graphique pour déterminer le produit vectoriel entre les vecteurs unitaires. Source: self made.

Pour commencer, il est bon de se rappeler que les produits vectoriels entre vecteurs parallèles sont nuls, donc:

i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0

Et comme le produit vectoriel est un autre vecteur perpendiculaire aux vecteurs participants, se déplaçant dans le sens de la flèche rouge nous avons:

Si vous devez vous déplacer dans la direction opposée à la flèche, ajoutez un signe (-):

Au total, il est possible de réaliser 9 produits vectoriels avec les vecteurs unitaires i, j et k, dont 3 seront nuls.

AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k) x (2 i + j -2 k) = -4 (i x i) -2 (i x j) +4 (i x k) +0 (j x i) + 0 (j x j) - 0 (j x k) - 4 (k x i) -2 (k x j) + 4 (k x k) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k

Équation de l'avion

Le vecteur N a été déterminé par le produit vectoriel précédemment calculé:

N = 2 i -8 j -2 k

Donc a = 2, b = -8, c = -2, le plan recherché est:

La valeur de d reste à déterminer. C'est facile si les valeurs de l'un des points A, B ou C disponibles sont substituées dans l'équation du plan. Choisir C par exemple:

x = 4; y = 2; z = 1

Restes:

En bref, la carte recherchée est:

Le lecteur curieux peut se demander si le même résultat aurait été obtenu si au lieu de faire AB x AC il avait été choisi de faire AC x AB. La réponse est oui, le plan déterminé par ces trois points est unique et possède deux vecteurs normaux, comme le montre la figure 2.

Quant au point sélectionné comme origine des vecteurs, il n'y a aucun problème à choisir l'un des deux autres.

Références

1. Figueroa, D. (2005). Série: Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 1. Cinématique. Edité par Douglas Figueroa (USB). 31- 62.
2. Trouver la normale à un avion. Récupéré de: web.ma.utexas.edu.
3. Larson, R. (1986). Calcul et géométrie analytique. Mc Graw Hill. 616-647.
4. Lignes et plans dans R 3. Récupéré de: math.harvard.edu.
5. Vecteur normal. Récupéré de mathworld.wolfram.com.