VECTEUR DIRECTEUR: ÉQUATION DE LA LIGNE, EXERCICES RÉSOLUS - PHYSIQUE - 2025

On entend par vecteur directeur un vecteur qui définit la direction d'une ligne, soit dans le plan, soit dans l'espace. Par conséquent, un vecteur parallèle à la ligne peut être considéré comme un vecteur directeur de celle-ci.

Ceci est possible grâce à un axiome de la géométrie euclidienne qui dit que deux points définissent une ligne. Ensuite, le segment orienté formé par ces deux points définit également un vecteur directeur de ladite ligne.

Figure 1. Vecteur directeur d'une ligne. (Élaboration propre)

Étant donné un point P appartenant à la droite (L) et étant donné un vecteur directeur u de cette droite, la droite est complètement déterminée.

Équation de la ligne et vecteur directeur

Figure 2. Équation de la ligne et du vecteur directeur. (Élaboration propre)

Etant donné un point P de coordonnées P: (Xo, I) et un vecteur u directeur d'une droite (L), tout point Q de coordonnées Q: (X, Y) doit vérifier que le vecteur PQ est parallèle à u. Cette dernière condition est garantie si PQ est proportionnel à u:

PQ = t⋅ u

dans l'expression ci-dessus, t est un paramètre qui appartient aux nombres réels.

Si les composantes cartésiennes de PQ et u sont écrites, l'équation ci-dessus s'écrit comme suit:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Si les composantes de l'égalité vectorielle sont égalisées, la paire d'équations suivante est obtenue:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

Équation paramétrique de la ligne

Les coordonnées X et Y d'un point appartenant à la ligne (L) qui passe par un point de coordonnées (Xo, Yo) et est parallèle au vecteur directeur u = (a, b) sont déterminées en affectant des valeurs réelles au paramètre variable t:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

Exemple 1

Pour illustrer la signification de l'équation paramétrique de la droite, nous prenons comme vecteur directeur

u = (a, b) = (2, -1)

et en tant que point connu de la ligne, le point

P = (Xo, I) = (1, 5).

L'équation paramétrique de la droite est:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

Pour illustrer la signification de cette équation, la figure 3 est montrée, où le paramètre t change sa valeur et le point Q de coordonnées (X, Y) prend différentes positions sur la ligne.

Figure 3. PQ = t u. (Élaboration propre)

La ligne sous forme vectorielle

Étant donné un point P sur la droite et son vecteur directeur u, l'équation de la droite peut s'écrire sous forme vectorielle:

OQ = OP + λ⋅ u

Dans l'équation ci-dessus, Q est n'importe quel point mais appartenant à la droite et λ est un nombre réel.

L'équation vectorielle de la ligne est applicable à n'importe quel nombre de dimensions, même une hyper-ligne peut être définie.

Dans le cas tridimensionnel d'un vecteur directeur u = (a, b, c) et d'un point P = (Xo, Yo, Zo), les coordonnées d'un point générique Q = (X, Y, Z) appartenant à la droite sont:

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

Exemple 2

Considérons à nouveau la ligne qui a comme vecteur directeur

u = (a, b) = (2, -1)

et en tant que point connu de la ligne, le point

P = (Xo, I) = (1, 5).

L'équation vectorielle de ladite droite est:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

Forme continue de la ligne et du vecteur directeur

En partant de la forme paramétrique, en effaçant et en assimilant le paramètre λ, on a:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

C'est la forme symétrique de l'équation de la droite. Notez que a, b et c sont les composants du vecteur directeur.

Exemple 3

Considérez la ligne qui a comme vecteur directeur

u = (a, b) = (2, -1)

et en tant que point connu de la ligne, le point

P = (Xo, I) = (1, 5). Trouvez sa forme symétrique.

La forme symétrique ou continue de la ligne est:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Forme générale de l'équation de la droite

La forme générale de la ligne dans le plan XY est connue sous le nom d'équation qui a la structure suivante:

A⋅X + B⋅Y = C

L'expression de la forme symétrique peut être réécrite pour avoir la forme générale:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

en comparant avec la forme générale de la ligne, c'est:

A = b, B = -a et C = b⋅Xo - a⋅Yo

Exemple 3

Trouvez la forme générale de la droite dont le vecteur directeur est u = (2, -1)

et qui passe par le point P = (1, 5).

Pour trouver la forme générale, nous pouvons utiliser les formules données, cependant un chemin alternatif sera choisi.

On commence par trouver le vecteur dual w du vecteur directeur u, défini comme le vecteur obtenu en échangeant les composantes de u et en multipliant la seconde par -1:

w = (-1, -2)

le vecteur dual w correspond à une rotation horaire de 90 ° du vecteur directeur v.

Nous multiplions scalairement w avec (X, Y) et avec (Xo, Yo) et mettons égal:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

restant enfin:

X + 2Y = 11

Forme standard de l'équation de la droite

Il s'agit de la forme standard de la ligne dans le plan XY, qui a la structure suivante:

Y = m⋅X + d

où m représente la pente et d l'intersection avec l'axe Y.

Étant donné le vecteur direction u = (a, b), la pente m est b / a.

Y d est obtenu en substituant X et Y au point connu Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

En bref, m = b / a et d = I - (b / a) Xo

Notez que la pente m est le quotient entre la composante y du vecteur directeur et la composante x de celui-ci.

Exemple 4

Trouvez la forme standard de la ligne dont le vecteur directeur est u = (2, -1)

et qui passe par le point P = (1, 5).

m = -½ et d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Exercices résolus

-Exercice 1

Trouvez un vecteur directeur de la droite (L) qui est l'intersection du plan (Π): X - Y + Z = 3 et du plan (Ω): 2X + Y = 1.

Puis écrivez la forme continue de l'équation de la droite (L).

Solution

D'après l'équation du jeu plan (Ω) Y: Y = 1 -2X

Puis on substitue dans l'équation du plan (Π):

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Ensuite, nous paramétrons X, nous choisissons le paramétrage X = λ

Cela signifie que la ligne a une équation vectorielle donnée par:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

qui peut être réécrit comme:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

avec lequel il est clair que le vecteur u = (1, -2, -3) est un vecteur directeur de la droite (L).

La forme continue de la ligne (L) est:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

-Exercice 2

Étant donné le plan 5X + a Y + 4Z = 5

et la droite dont l'équation est X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Déterminez la valeur de a telle que le plan et la ligne soient parallèles.

Solution 2

Le vecteur n = (5, a, 4) est un vecteur normal au plan.

Le vecteur u = (1, 3, -2) est un vecteur directeur de la ligne.

Si la ligne est parallèle au plan, alors n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Références

1. Fleming, W. et Varberg, DE (1989). Mathématiques du précalcul. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. (2006). Algèbre linéaire. Pearson Education.
3. Leal, JM et Viloria, NG (2005). Géométrie analytique plane. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vecteurs. Récupéré de: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD (2006). Précalcul. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Concepts de base de la géométrie. Rowman et Littlefield.
7. Sullivan, M. (1997). Précalcul. Pearson Education.