TRINOMIAL DE LA FORME X ^ 2 + BX + C (AVEC EXEMPLES) - MATEMATIQUES - 2025

Avant d'apprendre à résoudre le trinôme de la forme x ^ 2 + bx + c, et avant même de connaître le concept de trinôme, il est important de connaître deux notions essentielles; à savoir, les concepts de monôme et de polynôme. Un monôme est une expression du type a * x ⁿ, où a est un nombre rationnel, n est un nombre naturel et x est une variable.

Un polynôme est une combinaison linéaire de monômes de la forme a _n * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 +… + a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀, où chacun a _i, avec i = 0,…, n, est un nombre rationnel, n est un nombre naturel et a_n est différent de zéro. Dans ce cas, le degré du polynôme est dit n.

Un polynôme formé par la somme de seulement deux termes (deux monômes) de degrés différents est appelé binôme.

Trinômes

Un polynôme formé par la somme de seulement trois termes (trois monômes) de degrés différents est appelé trinôme. Voici des exemples de trinômes:

• x ³ + x ² + 5x
• 2x ⁴ -x ³ +5
• x ² + 6x + 3

Il existe plusieurs types de trinômes. Parmi ceux-ci, le trinôme carré parfait se démarque.

Trinôme carré parfait

Un trinôme carré parfait est le résultat de la quadrature d'un binôme. Par exemple:

• (3x-2) ² = 9x ² -12x + 4
• (2x ³ + y) ² = 4x ⁶ + 4x ³ y + y ²
• (4x ² -2y ⁴) ² = 16x ⁴ -16x ² y ⁴ + 4y ⁸
• 1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² = (1 / 4xy ⁴) ² -2 (1 / 4xy ⁴) z + z ² = (1 / 4xy ⁴ -z) ²

Caractéristiques des trinômes de grade 2

Un carré parfait

En général, un trinôme de forme ax ² + bx + c est un carré parfait si son discriminant est égal à zéro; c'est-à-dire si b ² -4ac = 0, puisque dans ce cas il aura une seule racine et il peut être exprimé sous la forme a (xd) ² = (√a (xd)) ², où d est la racine déjà mentionnée.

Une racine d'un polynôme est un nombre dans lequel le polynôme devient zéro; en d'autres termes, un nombre qui, lorsqu'il remplace x dans l'expression polynomiale, donne zéro.

Formule de résolution

Une formule générale pour calculer les racines d'un polynôme du second degré de la forme ax ² + bx + c est la formule résolvante, qui stipule que ces racines sont données par (–b ± √ (b ² -4ac)) / 2a, où b ² -4ac est connu comme le discriminant et est généralement désigné par ∆. De cette formule, il s'ensuit que ax ² + bx + c a:

- Deux racines réelles différentes si ∆> 0.

- Une seule racine réelle si ∆ = 0.

- Il n'a pas de racine réelle si ∆ <0.

Dans ce qui suit, seuls les trinômes de la forme x ² + bx + c seront considérés, où clairement c doit être un nombre autre que zéro (sinon ce serait un binôme). Ces types de trinômes présentent certains avantages lors de l'affacturage et de leur utilisation.

Interprétation géométrique

Géométriquement, le trinôme x ² + bx + c est une parabole qui débouche vers le haut et a un sommet au point (-b / 2, -B ² /4 + c) du plan cartésien que x ² + bx + c = (x + b / 2) ² -b ² /4 + c.

Cette parabole coupe l'axe Y au point (0, c) et l'axe X aux points (d ₁, 0) et (d ₂, 0); alors d ₁ et d ₂ sont les racines du trinôme. Il peut arriver que le trinôme ait une seule racine d, auquel cas la seule coupe avec l'axe X serait (d, 0).

Il peut également arriver que le trinôme n'ait pas de racine réelle, auquel cas il ne croiserait l'axe X à aucun point.

Par exemple, x ² + 6x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² est la parabole de sommet à (-3,0), qui coupe l'axe Y (0, 9) et à l'axe X en (-3,0).

Affacturage trinomial

Un outil très utile lorsque vous travaillez avec des polynômes est la factorisation, qui consiste à exprimer un polynôme comme un produit de facteurs. En général, étant donné un trinôme de la forme x ² + bx + c, s'il a deux racines différentes d ₁ et d ₂, il peut être factorisé comme (xd ₁) (xd ₂).

S'il a une seule racine d, il peut être factorisé comme (xd) (xd) = (xd) ², et s'il n'a pas de racine réelle, il reste le même; dans ce cas, il n'admet pas de factorisation comme produit de facteurs autres que lui-même.

Cela signifie que, connaissant les racines d'un trinôme sous la forme déjà établie, sa factorisation peut être facilement exprimée, et comme déjà mentionné ci-dessus, ces racines peuvent toujours être déterminées à l'aide de la résolvante.

Cependant, il existe une quantité importante de ce type de trinômes qui peuvent être factorisés sans connaître au préalable leurs racines, ce qui simplifie le travail.

Les racines peuvent être déterminées directement à partir de la factorisation sans utiliser la formule résolvante; ce sont les polynômes de la forme x ² + (a + b) x + ab. Dans ce cas, nous avons:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

De là, on voit facilement que les racines sont –a et –b.

En d'autres termes, étant donné un trinôme x ² + bx + c, s'il y a deux nombres u et v tels que c = uv et b = u + v, alors x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

Autrement dit, étant donné un trinôme x ² + bx + c, on vérifie d'abord s'il y a deux nombres tels que multipliés ils donnent le terme indépendant (c) et additionnés (ou soustraits, selon le cas), ils donnent le terme qui accompagne le x (b).

Pas avec tous les trinômes de cette manière, cette méthode peut être appliquée; dans lequel ce n'est pas possible, la résolution est utilisée et ce qui précède s'applique.

Exemples

Exemple 1

Pour factoriser le trinôme suivant x ² + 3x + 2, procédez comme suit:

Vous devez trouver deux nombres tels que lorsque vous les ajoutez, le résultat est 3 et que lorsque vous les multipliez, le résultat est 2.

Après avoir effectué une inspection, on peut conclure que les nombres recherchés sont: 2 et 1. Par conséquent, x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Exemple 2

Pour factoriser le trinôme x ² -5x + 6, nous cherchons deux nombres dont la somme est -5 et leur produit est 6. Les nombres qui satisfont ces deux conditions sont -3 et -2. Par conséquent, la factorisation du trinôme donné est x ² -5x + 6 = (x-3) (x-2).

Références

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