TRIANGLES: HISTOIRE, ÉLÉMENTS, CLASSIFICATION, PROPRIÉTÉS - SCIENCE - 2025

Les triangles sont des figures géométriques plates et fermées, constituées de trois côtés. Un triangle est déterminé par trois lignes qui se coupent deux par deux, formant trois angles entre elles. La forme triangulaire, pleine de symbolisme, est présente dans d'innombrables objets et comme élément de construction.

L'origine du triangle est perdue dans l'histoire. D'après les preuves archéologiques, il est connu que l'humanité primitive le connaissait bien, car les vestiges archéologiques confirment qu'il était utilisé dans des outils et des armes.

Figure 1. Triangles. Source: Publicdomainpictures.

Il est également évident que les anciens Egyptiens avaient une solide connaissance de la géométrie et en particulier de la forme triangulaire. Ils se reflétaient dans les éléments architecturaux de ses bâtiments monumentaux.

Dans le papyrus Rhind, vous trouverez des formules pour calculer les aires des triangles et des trapèzes, ainsi que quelques volumes et autres concepts de trigonométrie rudimentaire.

Pour leur part, on sait que les Babyloniens ont pu calculer l'aire du triangle et d'autres figures géométriques, qu'ils utilisaient à des fins pratiques, telles que les divisions du territoire. Ils connaissaient également de nombreuses propriétés des triangles.

Cependant, ce sont les Grecs de l'Antiquité qui ont systématisé bon nombre des concepts géométriques répandus aujourd'hui, bien qu'une grande partie de cette connaissance ne soit pas exclusive, car elle était sûrement partagée avec ces autres civilisations anciennes.

Éléments triangulaires

Les éléments de tout triangle sont indiqués dans la figure suivante. Il y en a trois: les sommets, les côtés et les angles.

Figure 2. Notation des triangles et de leurs éléments. Source: Wikimedia Commons, modifié par F.Zapata

-Vertices: sont les points d'intersection des lignes dont les segments déterminent le triangle. Dans la figure ci-dessus, par exemple, la ligne L _AC qui contient le segment AC, coupe la ligne L _AB qui contient le segment AB précisément au point A.

- Côtés: entre chaque paire de sommets est dessiné un segment de ligne qui constitue un côté du triangle. Ce segment peut être indiqué par les lettres de fin ou en utilisant une lettre spécifique pour l'appeler. Dans l'exemple de la figure 2, le côté AB est également appelé "c".

- Angles: Entre chaque côté avec un sommet commun, un angle prend naissance, dont le sommet coïncide avec celui du triangle. Généralement, l'angle est indiqué par une lettre grecque, comme indiqué au début.

Pour construire un triangle particulier, avec une forme et une taille données, il suffit de disposer de l'un des ensembles de données suivants:

-Les trois côtés, assez évidents dans le cas d'un triangle.

-Deux côtés et l'angle entre eux, et immédiatement le côté restant est dessiné.

-Deux angles (internes) et le côté entre eux. Par extension, les deux côtés manquants sont dessinés et le triangle est prêt.

Notation

Généralement, en notation triangulaire, les conventions suivantes sont utilisées: les sommets sont indiqués par des lettres latines majuscules, les côtés par des lettres latines minuscules et les angles par des lettres grecques (voir figure 2).

De cette façon, le triangle est nommé en fonction de ses sommets. Par exemple, le triangle de gauche sur la figure 2 est le triangle ABC et celui de droite est le triangle A'B'C '.

Il est également possible d'utiliser d'autres notations; par exemple, l'angle α sur la figure 2 est désigné par BAC. Notez que la lettre du sommet va au milieu et les lettres sont écrites dans le sens anti-horaire.

D'autres fois, un signe d'insertion est utilisé pour désigner l'angle:

α = ∠A

Types de triangles

Il existe plusieurs critères pour classer les triangles. Le plus courant est de les classer selon la mesure de leurs côtés ou selon la mesure de leurs angles. Selon la mesure de leurs côtés, les triangles peuvent être: scalènes, isocèles ou équilatéraux:

-Scaleno: ses trois faces sont différentes.

-Isósceles: il a deux côtés égaux et un côté différent.

-Equilátero: les trois côtés sont égaux.

Figure 3. Classification des triangles par leurs côtés. Source: F. Zapata

Selon la mesure de leurs angles, les triangles sont nommés comme ceci:

- Obstruction, si l'un des angles internes est supérieur à 90 °.

- Angle aigu, lorsque les trois angles internes du triangle sont aigus, c'est-à-dire inférieurs à 90 °

- Rectangle, au cas où l'un de ses angles internes vaut 90º. Les côtés qui forment 90 ° sont appelés jambes et le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse.

Figure 4. Classification des triangles par leurs angles internes. Source: F. Zapata.

Congruence des triangles

Lorsque deux triangles ont la même forme et ont la même taille, on dit qu'ils sont congruents. Bien sûr, la congruence est liée à l'égalité, alors pourquoi en géométrie parlons-nous de "deux triangles congruents" au lieu de "deux triangles égaux"?

Eh bien, il est préférable d'utiliser le terme «congruence» pour s'en tenir à la vérité, car deux triangles peuvent avoir la même forme et la même taille, mais être orientés différemment dans le plan (voir figure 3). Du point de vue de la géométrie, ils ne seraient plus strictement les mêmes.

Figure 5. Triangles congruents, mais pas nécessairement égaux, car leur orientation dans le plan est différente. Source: F. Zapata.

Critères de congruence

Deux triangles sont congruents si l'une des situations suivantes se produit:

-Les trois côtés mesurent la même chose (encore une fois, c'est le plus évident).

-Ils ont deux côtés identiques et avec le même angle entre eux.

-Les deux ont deux angles internes identiques et le côté entre ces angles mesure le même.

Comme on peut le voir, il s'agit des deux triangles remplissant les conditions nécessaires pour que lorsqu'ils sont construits, leur forme et leur taille soient exactement les mêmes.

Les critères de congruence sont très utiles, car en pratique, d'innombrables pièces et pièces mécaniques doivent être fabriquées en série, de telle sorte que leurs dimensions et leur forme soient exactement les mêmes.

Similitude des triangles

Un triangle est similaire à un autre s'ils ont la même forme, même s'ils sont de tailles différentes. Pour s'assurer que la forme est la même, il est nécessaire que les angles internes aient la même valeur et que les côtés soient proportionnels.

Figure 6. Deux triangles similaires: leurs tailles diffèrent mais leurs proportions sont les mêmes. Source: F. Zapata.

Les triangles de la figure 2 sont également similaires, tout comme ceux de la figure 6. De cette manière:

En ce qui concerne les côtés, les rapports de similitude suivants sont valables:

Propriétés

Les propriétés fondamentales des triangles sont les suivantes:

-La somme des angles internes de tout triangle est toujours de 180 °.

-Pour tout triangle, la somme de ses angles externes est égale à 360 °.

- un angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents audit angle.

Théorèmes

Le premier théorème de Thales

Ils sont attribués au philosophe et mathématicien grec Thales de Milet, qui a développé plusieurs théorèmes liés à la géométrie. Le premier d'entre eux déclare ce qui suit:

Figure 7. Théorème de Thales. Source: F. Zapata.

En d'autres termes:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Le premier théorème de Thales est applicable à un triangle, par exemple nous avons le triangle bleu ABC à gauche, qui est coupé par les parallèles rouges à droite:

Figure 8. Théorème de Thales et triangles similaires.

Le triangle violet AB'C 'est similaire au triangle bleu ABC, par conséquent, selon le théorème de Thales, on peut écrire ce qui suit:

AB´ / AC´ = AB / AC

Et c'est conforme à ce qui a été expliqué précédemment dans le segment de la similitude des triangles. À propos, des lignes parallèles peuvent également être verticales ou parallèles à l'hypoténuse et des triangles similaires sont obtenus de la même manière.

Deuxième théorème de Thales

Ce théorème fait également référence à un triangle et à un cercle de centre O, comme ceux illustrés ci-dessous. Sur cette figure, AC est un diamètre de la circonférence et B est un point dessus, B étant différent de A et B.

Le deuxième théorème de Thales stipule que:

Figure 9. Deuxième théorème de Thales. Source: Wikimedia Commons. Inductiveload.

Le théorème de Pythagore

C'est l'un des théorèmes les plus connus de l'histoire. Il est dû au mathématicien grec Pythagore de Samos (569 - 475 avant JC) et est applicable à un triangle rectangle. Dit ainsi:

Si nous prenons comme exemple le triangle bleu de la figure 8, ou le triangle violet, puisque les deux sont des rectangles, alors on peut dire que:

AC ² = AB ² + BC ² (triangle bleu)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (triangle violet)

L'aire d'un triangle

L'aire du triangle est donnée par le produit de sa base a et de sa hauteur h, divisé par 2. Et par trigonométrie, cette hauteur peut s'écrire h = b sinθ.

Figure 10. Aire du triangle. Source: Wikimedia Commons.

Exemples de triangles

Exemple 1

On raconte qu'au moyen de son premier théorème, Thales a réussi à mesurer la hauteur de la Grande Pyramide en Égypte, l'une des 7 merveilles du monde antique, en mesurant l'ombre qu'elle projetait au sol et celle projetée par un pieu enfoncé dans le sol.

Voici les grandes lignes de la procédure suivie par Tales:

Figure 11. Schéma pour mesurer la hauteur de la Grande Pyramide par similitude des triangles. Source: Wikimedia Commons. Dake

Thales a correctement supposé que les rayons du soleil frappaient en parallèle. Dans cette optique, il a imaginé le grand triangle rectangle à droite.

Là D est la hauteur de la pyramide et C est la distance au-dessus du sol mesurée du centre à l'ombre projetée par la pyramide sur le sol du désert. Il peut être laborieux de mesurer C, mais c'est certainement plus facile que de mesurer la hauteur de la pyramide.

Sur la gauche se trouve le petit triangle, avec les jambes A et B, où A est la hauteur du piquet enfoncé verticalement dans le sol et B est l'ombre qu'il projette. Les deux longueurs sont mesurables, tout comme C (C est égal à la longueur de l'ombre + la moitié de la longueur de la pyramide).

Donc, par similitude des triangles:

A / B = D / C

Et la hauteur de la Grande Pyramide s'avère être: D = C. (A / B)

Exemple 2

Les fermes dans la construction civile sont des structures constituées de fines barres droites de bois ou de métal entrecroisées, qui sont utilisées comme support dans de nombreux bâtiments. Ils sont également connus sous le nom de fermes, fermes ou fermes.

En eux, les triangles sont toujours présents, car les barres sont interconnectées en des points appelés nœuds, qui peuvent être fixes ou articulés.

Figure 12. Le triangle est présent dans le cadre de ce pont. Source: PxHere.

Exemple 3

La méthode dite de triangulation permet d'obtenir la localisation de points inaccessibles connaissant d'autres distances plus faciles à mesurer, à condition qu'un triangle soit formé qui inclue l'emplacement souhaité entre ses sommets.

Par exemple, dans la figure suivante, nous voulons savoir où se trouve le navire dans la mer, noté B.

Figure 13. Schéma de triangulation pour localiser le navire. Source: Wikimedia Commons. Colette

Tout d'abord, la distance entre deux points de la côte est mesurée, qui sur la figure sont A et C. Ensuite, les angles α et β doivent être déterminés à l'aide d'un théodolite, un appareil utilisé pour mesurer les angles verticaux et horizontaux.

Avec toutes ces informations, un triangle est construit dont le sommet supérieur est le navire. Il reste à calculer l'angle γ, en utilisant les propriétés des triangles et les distances AB et CB en utilisant la trigonométrie, pour déterminer la position du navire dans la mer.

Exercices

Exercice 1

Sur la figure représentée, les rayons du soleil sont parallèles. De cette manière, l'arbre de 5 mètres de haut jette une ombre de 6 mètres sur le sol. Au même moment, l'ombre du bâtiment est de 40 mètres. En suivant le premier théorème de Thales, trouvez la hauteur du bâtiment.

Figure 14. Schéma de l'exercice résolu 1. Source: F. Zapata.

Solution

Le triangle rouge a des côtés de 5 et 6 mètres respectivement, tandis que le bleu a une hauteur H - la hauteur du bâtiment - et une base de 40 mètres. Les deux triangles sont similaires, donc:

Exercice 2

Vous devez connaître la distance horizontale entre deux points A et B, mais ils sont situés sur un sol très accidenté.

A peu près au milieu (P _m) dudit terrain, une proéminence de 1,75 mètre de haut se détache. Si le ruban à mesurer indique 26 mètres de longueur mesurée de A à la proéminence, et 27 mètres de B au même point, trouvez la distance AB.

Figure 15. Schéma de l'exercice résolu 2. Source: Jiménez, R. Mathematics II. Géométrie et trigonométrie.

Solution

Le théorème de Pythagore est appliqué à l'un des deux triangles rectangles de la figure. En commençant par celui de gauche:

Hypoténuse = c = 26 mètres

Hauteur = a = 1,75 mètre

AP _m = (26 ² - 1,75 ²) ^1/2 = 25,94 m

Appliquez maintenant Pythagore dans le triangle de droite, cette fois c = 27 mètres, a = 1,75 mètre. Avec ces valeurs:

BP _m = (27 ² - 1,75 ²) ^1/2 = 26,94 m

La distance AB est trouvée en ajoutant ces résultats:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Références

1. Baldor, JA 1973. Géométrie plane et spatiale. Culture d'Amérique centrale.
2. Barredo, D. La géométrie du triangle. Récupéré de: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Mathématiques II. Géométrie et trigonométrie. Deuxième édition. Pearson.
4. Wentworth, G. Géométrie de l'avion. Récupéré de: gutenberg.org.
5. Wikipédia. Triangle. Récupéré de: es. wikipedia.org.